Проект по математике

МБНОУ «Гимназия №18»

Математика

Метод координат в пространстве

Автор: Путилин Александр Константинович

11 класс

МБНОУ «Гимназия №18»

Руководители:

Путилина Ольга Юрьевна, Леонова Татьяна Васильевна,

учителя математики

г. Ленинск – Кузнецкий

2021

Содержание

Введение..................................................................................................................3 Основная часть......................................................................................................5

1.1. Расстояние между двумя точками................................................................5

1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.................6

1.3. Угол между прямой и плоскостью................................................................7

1.4. Расстояние от точки до плоскости................................................................8

1.5. Угол между плоскостями...............................................................................9

1.6. Координаты вершин многогранников........................................................11

Заключение...........................................................................................................15

Литература………................................................................................................16

Приложение..........................................................................................................17

Введение

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ.

Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях.

Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к Гамильтону и Максвеллу.

Цель работы: Научится использовать координатный метод в решении второй части ЕГЭ по математике и познакомить с ним других.

Задачи:

1. Познакомиться с литературой по данной теме.

2. Научиться использовать координатный метод для решения задач.

3. Показать задачи, которые могут быть решены с помощью данного метода.

Объект исследования: стереометрические задачи (№14).

Предмет исследование: Метод координат в пространстве.

Новизна проекта: В школьном курсе приводится чисто аналитическое представление о решении стереометрических задач (№14) и только незначительная часть задач решается при помощи координат. Это связано лишь только с недостатком времени на уроках. Метод координат необходимо изучать больше, так как он экономит время на экзамене.

Основная часть

Основные необходимые формулы

1.1. Расстояние между двумя точками.

Расстояние между точками А(x₁;y₁;z₁), В(x₂;y₂;z₂) равно 

|AB|=

Пример решения задачи на эту формулу:

В единичном кубе A…D󠆹₁ найдите расстояние от точки A до прямой BD₁.

Решение:

1) Координаты вершин: А(0;0;0), В(1;0;0), D₁(0;1;1). Точка К лежит на

ВD₁.  {-1;1;1}

Напомним правило: Если отрезок, концами которого служат точки 

А(x_1;y_1;z₁), В(x_2;y_2;z₂) разделен точкой С(х;у;z) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам

х =   ; у =  ; z = .

Пусть АК перпендикуляр к ВD₁ и АК – искомое расстояние. Точка К делит BD₁ в отношении λ , тогда: x = ; у = ; z = , значит

К( ; ;  ).  ={ ; ;  }

2) =0;  =0,  ; λ =  ; К( ; ; ).

3)  = { ; ; } значит | | =  .

Ответ:

Остальные задачи на нахождения расстояния между точками, а также задачи для самостоятельного решения находятся в приложении.

1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M₁( x_1;y_1;z₁), M₂(x_2;y_2;z₂), M₃(x_3;y_3;z₃), в координатной форме:

Пример решения задачи:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где E – середина ребра SC.

Решение:

1) Координаты: точек В(1;0;0), Е( ; ; ); вектора  { ; ; }.

2) Координаты А(0;0;0), D(0;1;0), S( ; ; ), найдем уравнение плоскости (АDS).

Уравнение плоскости:

=0, координаты вектора нормали  ={ ;0;- };  

=

ответ: .

1.3. Угол между прямой и плоскостью.

Если β – угол между плоскостями, заданными уравнениями

A₁ х + B₁ y + C₁ z + D₁ =0 и A₂ х + B₂ y + C₂ z + D₂ =0, то

[3,112]

Пр имер решения задачи на эту формулу:

В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью BCC₁.

Решение:

1) Введем прямоугольную систему координат и запишем координаты вершин: А(0;0;0), F(-0,5; ;0), В(1;0;0) и С(1,5; ;0)

2) Найдем координаты векторов:  {-0,5; ;0} и {0,5; ;0}

3) Найдем косинус угла между векторами  =0,5; α=60

Ответ:60.

1.4. Расстояние от точки до плоскости.

Если ρ- расстояние от точки M₀(x₀;y₀;z₀) до плоскости

A х + B y + C z + D =0, то .

Пример решения задачи на эту формулу:

В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости BDA_1.

Решение

1) А (0;0;0), А₁(0;0;1), В(1;0;0), D(0;1;0).

2) Координаты А₁(0;0;1), В(1;0;0), D(0;1;0), найдем уравнение плоскости (A₁BD). 

  [5,79]

Уравнение плоскости:

х + y + (z - 1) = 0; т.е. х + у + z – 1= 0 координаты вектора нормали ={1;1;1}.

3)Найдем расстояние от точки А до плоскости (A₁BD)

= .

Ответ: .

1.5. Угол между плоскостями.

[3,112]

Пример решения задачи:

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁ .

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁ .

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор AC перпендикулярен этой плоскости. Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:  = {1;1;0}.

Напишем уравнение плоскости AEF.

A(0;0;0)

E( ;0;1)

F(0; ;1)

Берем уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

A

E

F

Упростим систему:

D = 0

A + C = 0

B + C = 0

Пусть C = − 1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: 2x +2y − z = 0.

Нормаль к плоскости AEF: {2; 2; − 1}.

Найдем угол между плоскостями:

1.6. Координаты вершин многогранников.

Главная трудность в решении стереометрических задач (№14) методом координат – это определить координаты вершин многогранника. Делать это очень удобно, если вынести основание многогранника на отдельном рисунке на плоскость XOY. Тогда хорошо видны все точки, и их координаты найти достаточно просто.

Определить координаты вершин многогранников:

1) Единичный куб A...D1

Решение:

координаты вершин А (0;0;0), А1(0;0;1), В(1;0;0), В₁(1;0;1),

D(0;1;0), D₁( 0;1;1), С(1;1;0), С₁(1;1;1).

2) Правильная треугольная призма A…C₁ , все ребра, которой равны 1.

Решение: 

координаты вершин: А (0;0;0), А ₁(0;0;1), В(1;0;0), В₁(1;0;1),

С(0,5; ;0), С₁(0,5; ;1).

3) Правильная шестиугольная призма A...F₁, все ребра которой равны 1.

Решение: 

координаты вершин: А (0;0;0), А ₁(0;0;1), В(1;0;0), В₁(1;0;1), С(1,5; ;0), С₁(1,5; ;1), D(1; ;0), D₁(1; ;1), Е(0; ;0),  E₁(0; ;1), F(-0,5;   ;0),

F₁(-0,5;  ;1).

4) Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин:

А(0;0;0), В(1;0;0), С(0,5; ;0), D(0,5; ; ).

5) Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Решение:

Очевидно, что высотой пирамиды будет координата Z. Координаты вершин: А (0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(0;1;0), S(0,5;0,5; ).

6) Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Решение: 

координаты вершин: А (0;0;0), В(1;0;0), С(1,5; ;0), D(1; ;0), Е(0; ;0),

F(-05;  ;0), S(0,5; ; ).

Заключение

Проанализировав теоретический материал, я пришел к выводу, что векторно-координатный метод можно использовать при решении стереометрических задач с целью упростить решение и сэкономить время. Я рассмотрел примеры решения задач на нахождение углов и расстояний между прямыми, между прямыми и плоскостями, между плоскостями. Это помогло мне научится применять метод координат при решении задач.

В классическом решении пришлось бы строить линии, которые являются расстояниями меду объектами, линии пересечения плоскостей, что бывает иногда непросто. А метод координат значительно всё упрощает. Моим одноклассникам понравилась идея решать стереометрические задачи (№14) векторно-координатным способом и многие из них изъявили желание поближе познакомиться с ним.

Литература

1. А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 2012 - 255с.

4. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. – М.: Просвещение, 1964. – 303с.

5. Борзенко Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации. – Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. – 60с.

6. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для ест.-научного профиля. Под ред. Смирновой И.М.– М.: Просвещение, 2003.

7. ЕГЭ-2011. Математика : типовые экзаменационные варианты : 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. — М. : Национальное образование, 2010. — 240 с. — (ЕГЭ-2011. ФИПИ школе).

8. Единый государственный экзамен: Математика: Cб. заданий. – М.: Просвещение, 2005. – 224с.

9. Задачи по элементарной математике [Текст] / В.Б. Лидский, Л.В.

10. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии, 7-11 классы. – СПб., 1998. – 624с.

11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. – М.:Просвещение,1993.–383с.

12. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. математика: Интенсивный курс подготовки к экзамену. [Текст]. Черкасов О.Ю. и др./ М.: Айрис-пресс, 1998.- 416с.

13. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. [Текст]. Ященко И.В./М.: Национальное образование, 2015-272с.
    
    

Приложение

2. Что такое стереометрические задачи (№14)?

Для начала определимся что же в себя включает задание №14 и что необходимо уметь при его решении.

К задачам №14 относятся стереометрические задания, в которых нужно найти определенную величину.

Для успешного решения задач №14 необходимо:

• Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

• Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических
  величин (длин, углов, площадей)

• Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
  геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
  использовать при решении стереометрических задач
  планиметрические факты и методы

• Определять координаты точки; проводить операции над векторами,
  вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

• Повторить материал по темам:

  • Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые;
    перпендикулярность прямых

  • Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства

  • Параллельность плоскостей, признаки и свойства

  • Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства;
    перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах

  • Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства

• Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур

• Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма

• Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

• Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

• Сечения куба, призмы, пирамиды

• Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

• Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая,
  развертка

• Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

• Шар и сфера, их сечения

• Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

• Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью

• Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

• Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние
  между параллельными прямыми, параллельными плоскостями

• Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

• Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

• Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

• Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

• Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

• Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и
  умножение вектора на число

• Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

• Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам

• Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Конечно же, рассматривая метод координат, подробно стоит остановиться на последних шести пунктах, но и про остальные ни в коем случае нельзя забывать.

Краткий теоретический справочник.

1. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

ДЕКАРТОВЫ координаты (декартова система координат) - система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям - прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Р. Декарта.

На плоскости В пространстве

1. Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Расстояние d между двумя точками M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂) в пространстве определяется формулой

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок  , ограниченный точками M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂) в отношении λ, определяется по формулам

х =   ; у =  ; z = .

В частности, при λ=1 имеет координаты середины данного отрезка:

х =   ; у =  ; z = .

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени.

x² + y² + z² = R²

Сфера радиуса R , центр которой не совпадает с началом координат, представлена другим уравнением второй степени.

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

3. Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Координаты вектора, концами которого являются точки А(x_1;y_1;z₁) и В(x₂;y₂;z₂), находятся так: АВ{ x₂ - x₁;y₂ - y₁;z₂- z₁}

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, обозначаемое    и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними: a•b=|a|•|b|•cos(a^b) , где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b. Отметим, что всегда(0 ≤ a^b ≤ π).

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1. a • b = b • a;

2. (λa) • b= •(λb) = λ (a • b);

3. a • (b+с) = a • b + a • с;

4. a • b = | a | прa b = |b| прb| a |;

5. a • a = | a |²;

6. a • b = 0, если a ┴ b.

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

4. Примеры заданий

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K середины ребер соответственно

A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Решение:

Строим чертеж: 

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK скрещиваются. Найдем угол между векторами AE и BK.

Для этого нужны их координаты.

A(0;0;0)

B(1;0;0)

E( ;0;1)

K(1; ;1)

Запишем координаты векторов:

{ ;0;1}

{0; ;1}

и найдем косинус угла между векторами AE и BK:

=

Задание для самостоятельного решения:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Ответ: 

2. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямо-

угольник ABCD, в котором AB = 5, AD = . Найдите тангенс угла между

плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно .

Решение:

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать параллелепипед.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота вроде не дана. Как же ее найти?

Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно p3. Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них диагональ верхнего основания, другая диагональ нижнего.

Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD - это, очевидно, OO₁,

где O - точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ - точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = .

Плоскость AA₁D₁D - это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней - это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор   {5; 0; 0} или, еще проще, вектор  {1; 0; 0}.

Осталась еще плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D. Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D - значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

B₁(5;0; )

D(0; ;0)

Координаты вектора   - тоже:

{-5; ; } =

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E - середина ребра A₁B₁. Найдите синус

угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат.

A (1;0;0)

E(1; ;1)

Находим координаты вектора

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор   {1; −1; 0}.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до прямой BG, где G – середина ребра SC.

Решение: 

координаты вершин:

В(1;0;0), F(-05;  ; 0), G(1; ; ).

Пусть FK перпендикуляр к BG- искомое расстояние. Точка К лежит на ВG.

  {0; ; }. К – делит BG в отношении λ.

Если отрезок, концами которого служат точки А(x₁;y₁;z₁), В(x₂;y₂;z₂) разделен точкой С(х;у;z) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам

х =   ; у =  ; z = .

1) , значит K ( ; )

={ +0,5; - ; }.

2) =0; ; λ=1; K(1; ; ).

3)  ={1,5; ; }, значит | |=

Ответ:

8