Проект "Задачи на движение"

ГОУ ЛНР «Свердловская средняя школа №9 имени воина-интернационалиста А.Голубкова»

Проект по математике «Задачи на движение»

Руководитель:

Дедова Ольга Николаевна,

учитель математики

Цель проекта

обобщить и систематизировать знания и умения решать текстовые задачи на движение;

показать различные способы и приёмы решения текстовых задач повышенного уровня сложности из сборника заданий для ГИА и ЕГЭ;

разобрать различные примеры оформления решений текстовых задач на движение;

развивать умения самостоятельно систематизировать полученные знания;

ориентироваться в информационном и социальном пространстве.

Задачи проекта

• Изучить учебную и научно-методическую литературу по рассматриваемой проблеме.
• Подобрать и проанализировать литературу.
• Систематизировать, расширить и углубить теоретические знания по данной теме.
• Рассмотреть стандартные задачи на движение и их решение.
• Изучить различные методы решения нестандартных текстовых задач на движение.
• Сделать вывод.

Актуальность исследования:

• рассматриваемые способы решения задач на движение являются простыми и эффективными в изучении курса математики 5-11 классов;
• рассматриваемые способы решения задач на движение оптимизируют процесс решения, что позволяет сэкономить время;
• такие задачи можно быстро решать, пользуясь определёнными алгоритмами.

Проблема исследования : необходимость выявления основных подходов к решению текстовых задач на движение.

Гипотеза: рассмотрение решения нескольких текстовых задач позволит сделать вывод о наличии единого подхода к их решению или его отсутствии.

Объект исследования: некоторые виды задач на движение из школьных учебников, заданий 3.1 из сборника заданий для ГИА и №11 из сборника типовых заданий по ЕГЭ по математике.

Предмет исследования: решение задач на движение.

Методы научно-исследовательской работы

• изучение научной литературы по выбранной теме;
• обобщение опыта практической работы (работа с практическим материалом, решение задач из сборников для ГИА и ЕГЭ);
• анализ, обобщение.

Задачи на движение

Все задачи решаются по формуле S =vt

либо используются формулы v=S/t, t=S/v

В качестве переменной x удобно выбрать скорость.

Уравнения составляются по одновременным событиям.

Замечания:

• если время события задано, то удобнее составлять уравнение на путь;
• если уравнений меньше, чем неизвестных, то нужно ввести в систему искомую величину.

При решении задач на движение принимают допущения

• движение считается равномерным;
• изменение направления движения считаются происходящими мгновенно;
• если два тела начинают движение одновременно, то до встречи каждое тело затрачивает одинаковое время;
• если тела выходят в разное время, то до встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше;
• в природе скорость расстояние и время положительны.

Что нужно помнить

Для успешного решения задач на движение нужно знать формулу , которая связывает расстояние, скорость и время :

s=v ·t

Для удобства запоминания применим схему, по

которой можно найти любой из трех компонентов

S – пройденный путь или расстояние,

V – скорость,

t - время

Особенности решения задач на движение по прямой

Тип движения (вид задачи)

Параметр задачи

Скорость движения

Движение по прямой вдогонку

Время в пути до первой встречи

Движение по прямой навстречу друг другу

Расстояние между телами в некоторый момент времени t

Движение по прямой в противоположные стороны

-

Основные типы задач на движение

• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку, с задержкой в пути);
• задачи на движение по замкнутой трассе;
• задачи на среднюю скорость;
• задачи на движение протяжных тел,
• задачи на движение по воде.

Алгоритм решения задач

• Введи переменную х.
• Составь таблицу по данным задачи.
• Составь уравнение по условию задачи.
• Реши уравнение и проверь корни по условию задачи.
• Прочитай вопрос к задаче и дай на него ответ.

Практическая часть проекта

Движение по прямой из одного пункта в другой №1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В  на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Решение:

Известно, что велосипедист прибыл в пункт В  на 4 часа позже автомобилиста.

Получим уравнение:

S (км)

Авто

Вело

V (км/ч)

t (ч)

х+40

50

+ 4 =

50

х

50х + 4х(х+40) = 50(х+40)

50х+4х² +160х = 50х+2000

4х² +160х – 2000 = 0

х² +40х – 500 = 0

D = 3600; х ₁ =10, х 2 = - 50

Скорость не может быть отрицательной, следовательно

скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Ответ: 10

Движение по прямой в одну сторону ( Библиотечка СтатГрада. Подготовка к ОГЭ-2017)

Из сборника Л.Б. Крайневой

Движение вдогонку

Два пешехода отправляются одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,2км/ больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 360 м?

Решение:

Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 360 м, т.е. 0,36 км, находим по формуле t=0,36/1,2 =0,3. Следовательно, это время составляет 18 минут.

Ответ: 18 минут

Движение навстречу с задержкой в пути №3. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправляются два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 6 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 162 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение:

6 мин = 6/60ч = 0,1ч

Пусть х км – расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи, тогда (162-х)км проехал первый велосипедист до встречи.

Время второго велосипедиста до встречи - х/30 ч,

а первого –((162-х)/15+ 0,1) ч.

Составим уравнение х/30=(162-х)/15+0,1 и решим его.

х= 109

Значит, 109 км – искомое расстояние.

Ответ: 109 км.

Нахождение средней скорости (из библиотечки Статграда)

№ 6. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 56 км/ч, а вторую — со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Обозначим длину трассы за 2S, S – половина трассы,

t₁ = S/56(ч)- время, затраченное автомобилем на первую половину трассы, а t₂ = S/84(ч) - на вторую половину трассы.

Тогда v = 2S/(t 1 + t₂)

Движение по кругу (из сборника А.Р. Рязановского)

Движение протяженных тел навстречу №5. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение:

• 54+6=60 (км/ч) скорость сближения
• 60 км/ч = 60 ·1000:60 м/мин
• 30 сек. = 0,5 мин
• 1000·0,5 = 500 (м) длина поезда.

Ответ: 500 м.

Движение по воде № 8. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки(в неподвижной воде), тогда

(х+4)км/ч – скорость лодки по течению реки,

(х-4)км/ч – скорость лодки против течения реки.

77/(х-4)ч – время лодки против течения реки,

77/(х-4)ч – время по течению реки, на 2ч меньше

Составим уравнение 77/(х-4) – 77(х+4) = 2 и решим его. х=18

Значит, собственная скорость лодки 18 км/ч.

Ответ: 18 КМ/Ч

Интернет-ресурсы для подготовки к ОГЭ по математике

• http://www.fipi.ru  — портал информационной поддержки мониторинга качества образования, здесь можно найти Федеральный открытый банк заданий, а также демоверсии заданий ОГЭ и ГВЭ по всем предметам
• https://oge.sdamgia.ru — образовательный портал для подготовки к ОГЭ и ГВЭ по 14 предметам! Онлайн тесты и подробное пояснение к задачам и вопросам
• http://www.examen.ru — Все о ГИА и ЕГЭ. Онлайн тестирование
• http://alexlarin.net – образовательный портал для подготовки к ОГЭ по математике. Онлайн- тестирование. Сборники заданий второй части.
• http://www.yaklass.ru – образовательный портал для учащихся 1-11 классов, где можно повторить весь необходимый теоретический материал, а также пройти онлайн - тестирование.

Пособия для подготовки к ОГЭ по математике

Пособия для подготовки к ОГЭ по математике

Результаты исследования

• Обобщен теоретический материал по математике, необходимый для решения текстовых задач повышенной сложности в ОГЭ;
• Показаны решения разных типов текстовых задач на движение, задач из второй части ОГЭ по математике типа №22, различные способы их оформления;
• Выведены алгоритмы решения задач;
• Выпущен сборник - решебник текстовых задач на движение из ОГЭ типа №22

Задачи для самостоятельной работы из открытого банка https://oge.sdamgia.ru

1) Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

2) Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Турист прошёл путь из A в B за 5 часов, из которых спуск занял 4 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 1 км/ч?

3) Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправляются два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 6 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 162 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

4) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

5) От пристани A к пристани B, расстояние между которым равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно.