Проектная деятельность на уроках математики

РЕСПУБЛИКА КРЫМ

ДЖАНКОЙСКИЙ РАЙОН

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«РОСКОШНЕНСКАЯ ШКОЛА»

Проектная деятельность на уроках математики «Избранные вопросы математического анализа»

Составитель:

Левчtнко Л.В.

учитель математики

Роскошное 2015

Содержание:

Актуальность проекта………………………………………………………………….

Изучение потребности учащихся 10 классов в образовательных услугах…………

Анкетирование учащихся 10 классов…………………………………………………

Концепция деятельности……………………………………………………………

Программа элективного курса………………………………………………………..

Использованная литература…………………………………………………………

Вводный тест………………………………………………………………………….

Итоговый контроль…………………………………………………………………...

Выводы………………………………………………………………………………...

Пояснительная записка.

Актуальность проекта.

Среди школьных предметов математика занимает особое место, экзамен по математике является обязательным для всех школьников. В настоящее время этот экзамен во многих школах России проводится в виде ЕГЭ. ЕГЭ по математике – процедура серьезная, требующая специальной подготовки, многим ученикам нужна хорошая оценка не только по школьной составляющей ЕГЭ, но и по всем его компонентам. Математику, в отличие от других предметов, сдают в большинстве высших учебных заведений (математические, естественнонаучные, технические, экономические, военные и т. д.)

Наши выпускники хотят продолжать обучение в высших учебных заведениях, но существует расхождение их подготовки и требований, которые предъявляются абитуриенту вузов. Возникают противоречия:

• Противоречие между уровнем развития ученика и выдвигаемой ходом обучения задачей;

• Противоречие между природной любознательностью ребенка и падением интереса его к учебе по мере взросления;

• Противоречие между большим объемом учебной информации и неумением учащихся рационально организовать свой труд;

• Противоречие между притязаниями родителей и не готовностью учащихся к самоопределению, не сформированностью адекватных представлений о своих возможностях.

Основная проблема, которая возникла передо мной - найти пути повышения мотивации обучения, добиться наиболее гарантированных запланируемых результатов, повышение качества знаний и умений учащихся с целью успешной сдачи экзаменов и поступление в вузы.

Эту проблему могут решить элективные курсы. Они проводятся для небольшого числа учащихся, изъявивших желание его выбрать, и курс, прежде всего, должен удовлетворить индивидуальные потребности и склонности каждого ученика.

Анкетирование учащихся школы выявило темы по математике, которые вызывают у них наибольшее затруднения. Среди них задания с параметрами, поэтому я стала разрабатывать элективный курс для 10-11 классов «Избранные вопросы математического анализа».

Изучение потребности учащихся 10 классов в образовательных услугах

Таблица для ответов

Варианты ответов на вопрос «Необходимые предметы»:

1.Знание этого предмета необходимо для развития экономики страны.

2.Эта наука бурно развивается в настоящее время и играет большую роль в жизни общества.

3.Этот предмет пригодится для поступления в техникум, вуз, он будет необходим в будущей профессии.

4.Этот предмет формирует полезные умения , которые пригодятся в жизни.

5.Этот предмет умеет разбираться в жизни.

6.Этот предмет считают значимым мои родители.

7.Этот предмет формирует интеллектуальные умения, расширяет кругозор.

8.Этот предмет участвует в ЕГЭ.

Вариант ответов на вопрос «Интересные предметы»

1.Интересно узнавать о новых фактах, удивительных событиях.

2.Интересно узнавать о жизни людей и их деятельности.

3.Интересно выявлять причины событий.

4.Интересно слушать объяснение учителя по этому предмету.

5.Интересно на уроках и дома решать задачи, выполнять упражнения, практические работы, заполнять таблицы.

6.Интересно самому находить дополнительные сведения, готовить сообщения, выступать с ними перед классом.

7.Интересно находить объяснение явлению, ставить проблему и разрешать ее, проводить исследование.

8.Интересно , так как учитель преподает необычно и этим привлекает к изучению предмета.

9.Интересно, так как этот предмет дается мне легко.

10.Этот предмет связан с другими предметами, которые входят в круг моих интересов.

11.Интересно, потому что предмет мобилизует волю и заставляет сосредоточенно мыслить.

Анкетирование учащихся 10 классов. Мотивы учения учащихся.

Анкетирование показало, что многие учащиеся хотят окончить школу и продолжить образование, понимают важность и необходимость учения, хотят занять достойное место в обществе.

Анкетирование учащихся 10 классов

1.Какие разделы математике у вас вызывают затруднение?

2.Какие разделы математике вы хотели бы изучать углубленно?

3.Какие элективные курсы вы выбрали бы из предоставленного перечня?

4.Почему вы выбрали эти элективные курсы?

Анкетирование учащихся 10А класса

Учитель глазами ученика

1.Излагает материал ясно, доступно. 2.Разъясняет сложные места.

3.Выделяет главные моменты. 4.Умеет вызвать и поддержать интерес.

5.Побуждает к дискуссии. 6.Умеет снять напряжение и усталость аудитории.

7.Нормальный темп изложения. 8.Проявляет творческий подход к своему делу.

9.Объективен в оценке знаний. 10.Требователен и принципиален.

11.Терпелив

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Концепция деятельности

Гипотеза исследования опыта моей работы, заключается в том, что организация элективных курсов является необходимым условием создания образовательного пространства, способствующего самоопределению учащихся в соответствии с их способностями, склонностями и потребностями, а также преодолению противоречия между уровнем подготовки учащихся и требованиями вступительных экзаменов.

Цель: разработка программы элективного курса и реализация его в своей деятельности.

В соответствии с целью и гипотезой исследования выдвигаю следующие задачи исследования:

• Ознакомление с концепцией профильного обучения

• Изучение инновационных педагогических технологий, внедрение интерактивных форм и методов обучения в свою деятельность.

• Разработка программы элективного курса для 10 -11классов.ёёёёёё

• Реализация программы .

• Анкетирование.

.Пояснительная записка.

Программа разработана для 10 классов физико-математического профиля. Элективный курс посвящен одной из самых важных тем математики: «Избранные вопросы математическо анализа».

Тема уравнения рассматривается на протяжении всего курса алгебры 7-9 классов небольшими кусками, и только некоторые способы их решения. Данный курс систематизирует и обобщает знания по теме, углубляет и расширяет их. Также рассматриваются различные способы решения уравнений. Настоящая программа предусматривает полное развитие целостной математической составляющей в обучении алгебры, предоставляет возможности учащимся свободного выбора своего образовательного пути.

Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Эта программа будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений, формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека.

Данный материал поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения, а также поможет готовиться к ЕГЭ. В курс заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования упражнений различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельного освоения нового материала.

Цель курса:

• прочное сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, связанных с решением рациональных уравнений, приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности;

• способствовать развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи курса:

1. Систематизирование и обобщение теоретических знаний, связанные с понятием рациональные уравнения;

2. Формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений;

3. Развитие умений коллективно-познавательного труда, логического и творческого мышления;

4. Развитие навыков исследовательской деятельности, повышение математической культуры учащегося.

Используемые технологии: лекционно-семинарская система обучения; модульное обучение; исследовательский метод в обучении; индивидуальные формы работы; дифференцированное обучение.

Решение индивидуальных заданий на разных уровнях усвоения: применения способа решения по образцу; с последующей проверкой по эталону; применение самостоятельно выбранного способа решения; самооценка учащимися своей деятельности на занятии (рефлексия).

Ожидаемые результаты: Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами

Календарно-тематическое планирование элективного курса алгебры и начала математического анализа в 10 классе по теме «Избранные вопросы математического анализа», рассчитанного на 1 ч в неделю, 35 часов в год

Вводный тест

1.Заполните следующую таблицу

2.Выделите квадрат двучлена в следующих трехчленах:

а)2х²+4 б)х²+2рх в)ах²+вх+с г)4х²+кх-к-3

3.Найдите дискриминант квадратных трехчленов

а)х²+1 б)2х²-6х+20 в)х²+рх+q г)ах²+вх

4.Пусть х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена х²+рх+q. Выразите данные выражения через коэффициенты р и q.

а)х²₁+х²₂ б)_+_

5.Найдите все значения а , при которых уравнение имеет 1 корень, 2 корня, не имеет корней.

а)3х²-2х-а=0 б)ах²-3х-1=0 в)(2а-1)х²+2х-1=0

6.При каких значениях а уравнение имеет корень х=4

а)_+_=1 б)(а²-3а-2)х+2а²+а-3=0

Опорные таблицы Приложение 1.

Таблица 1

Таблица 2

Приложение 2.

1). Основные понятия

Определение 1.Пусть дано равенство с переменными х и а:

Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(х;а)=0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Параметр обычно обозначается первыми буквами латинского алфавита: а, в, с…

Переменная, относительно которой решается уравнение,- последними буквами латинского алфавита: х, y, z, t…

Примеры:

1. 2х-а=х+1 2. _ 3. _ 4. _

Определение 2.

Под областью определения уравнения f (х;а)=0 с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f (х;а) имеет смысл.

Установим область определения каждого из выше перечисленных уравнений:

_{ }

Определение 3. Под решением уравнения f(х;а) =0 с параметром а будем понимать систему значений х и а из области определения уравнения, образующую его в верное числовое равенство.

Определение 4. Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а –это значит, для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить ,что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которыхf (х;а) не имеет смысла, включить в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Пример.

Решите уравнение.

_=х+1

Решение. ООУ _ х=_ Ответ: 1. Если а≠1, то х=_ 2. Если а=1,то решений нет.

Перед систематическим изучением линии уравнения и неравенства с параметрами для учащихся полезно сформулировать «заповеди для штурма мира задач».

1. применяя формулы, теоремы и свойства ,записывай границы их применения.

2. помни теоремы Виета.

3. выделяй полный квадрат из квадратного трехчлена.

4. не забывай о графическом способе решения задач. В задачах, где неизвестные или параметры стоят под знаком модуля или радикала, графический способ часто приводит к результату быстрее и надежнее.

5. не дели на ноль.

6. не извлекай корень четной степени из отрицательного числа, не вычисляй логарифм неположительного числа и т.п.

7. исследуй отдельно пограничные и предельные значения параметров -это позволит проконтролировать работу.

8. для ответа на задание «реши уравнение с параметром» запиши программу для параметра(разные виды ответа для всех значений параметра от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности»).

Все многообразие уравнений или систем уравнений, неравенств, предлагаемых на вступительных экзаменах, приводится к квадратным уравнениям (линейным), корни которых находятся на ограниченном множестве переменной величины. Ограничения возникают в области определения и области значений функций, входящих в уравнения или системы (логарифмические, показательные, иррациональные, модульные). Решение нужно начинать с анализа примера и определения ограничений переменной или параметра. Корни могут принадлежать только найденной области ограничений, и отыскание значений параметра, удовлетворяющих условию задачи, может идти двумя путями:

1. Подстановкой корней уравнения на множество ограничений, т.е. решение в «лоб». Такой прием применяется для корней линейного уравнения или неравенства.

2. применение каких-либо косвенных приемов: теоремы Виета, теорем о расположении корней квадратного уравнения, графических методов.

Второй путь при решении квадратных уравнений проще и более универсален.

2. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.

1. Решить уравнение.

2х=а

Решение.

Уравнение 2х=а для любого значения а имеет единственное решение. Если а=1, то х=1, если а=1:2,то х=1:4 и т.д.

В общем виде решение данного уравнения запишется так: х=а:2.

Пары соответствующих значений х и а можно изобразить на координатной прямой параметра а. Под осью пишем значения а, над осью соответствующие значения х.

-1 -_ 0 _ 1 х

-2 -1 0 1 2 а

Связь между х и а можно показать и путем построения графика функции а: х=2 в системе координат (а0х)

х х=_

1

-2 -1 а

1 2

-1

Возможные вопросы:

1. найдем решение уравнения при а=0;1;4;-2

2. при каком значении а уравнение имеет решение х=-1;-2;0.

3. может ли данное уравнение иметь более одного решения при некотором значении а?

4. можно ли указать два значения параметра а, при которых соответствующие значения х равны?

2.решить уравнение.

_=3

Решение.

_ Исследование

_{ } Пусть а=0, уравнение примет вид

_=3. Оно решений не имеет.

Ответ:1. Если а≠ 0,то х=_

2. Если а=0, то решений нет.

Проиллюстрируем ответ в системе координат

х

Х=_

0 6 а

-2

При а=0 соответствующая точка графика функции х=_ имеет ординату х, равную -2, а это число для х не является допустимым. Поэтому точка графика «выкалывается».

3.Решите уравнение.

_=_ Решение. ООУ_ х =_ , исследование:_{ }

При в=1 решений нет, т.к. это число не является для в допустимым. Проиллюстрируем результат решения с помощью координатной прямой параметра в

Х=_ 1 Х=_ в

4.Решите уравнение.

_ –_ =_ Решение. ооу_ х(3+2а)=-6а 1. а=-1,5 , то решений не 2.а_

Исследование. _{ }

3. а=-0,75 то решений нет.

Уравнения для самостоятельного решения:

5. 3а-3х=х-4а+5 6. (в+10)х=3 7. (3-с)х=с-9 8._=в 9._=3а-1 10._- _=_

3) Уравнения с дополнительными условиями. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

11. При каких значениях параметра а уравнение (а-1)х=2а-3 имеет только положительные решения?

Решение.

ООУ _ 1.а=1, решений не 2. а≠1, х=_, а теперь решим неравенство _

+ - +

1 1,5 а

Ответ:а_

12. найдите все значения параметра а, при которых все решения уравнения (а²-1)х=(а-1)(3а-1) удовлетворяют условию _

Решение.

ООУ _ 1.а=1, х_

2. а=-1, решений нет.

3. а_

Достаточно решить систему неравенства

-1 1 3 а

-1 -_ 1 а

_{ } Ответ: а_

13. Решить уравнение _=2а-1

Решение.

1. а=1, _=0, х=1,5 2. а_,5 _{ }

3. а_.

Задачи для самостоятельного решения.

14. При каких значениях параметра а уравнение ах-3а=2х+1 имеет только отрицательные решения?

15. Найдите все значения параметра а, при которых все решения уравнения (а²-3а+2)х=(а-1)(2а-5) удовлетворяют условию_.

16._=а-1 17._=ах-1 18. 2_+_

5). Линейные неравенства, системы неравенств, неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

19. Решите систему неравенств.

Решение.

_ 2-2а=_

Рассмотрим три случая.

1.а=0 , _

2.а_+2_х_

3. а_

Проиллюстрируем ответ в системе координат аох.

х

2 х=_

0 1 Х=2-2а а

20. решите неравенство.

Решение.

1.а=1, решений нет 2.а_ 3.а_.

21. найдите значения а, при которых неравенство _

Решение. Для построения графика функции Y=_-_ раскроем модули

Y=_

Y

4 Y=4

2 Y=2

-6 -4 -2 -1 0 1 2 х

-1

-4

-5 Y=-5

-6

при а=2 данное неравенство имеет единственное решение Х=-4 ОТВЕТ: а=2

3. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ ОСОБЫХ УСЛОВИЯХ.

Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, найти значение параметра, при котором корни положительны, отрицательны, имеют разный знак, больше или меньше какого-либо числа и.т.д. Для решения их следует использовать свойства корней квадратного уравнения Ах²+вх+с=0

Опорная таблица 3 Приложение3

21. установить при каких а уравнение х²-2_х+2а+1=0 имеет положительные корни.

Решение

_{ } а_

22. корни уравнения х²-3ах+а²=0 таковы, что _

Решение.

По теореме Виета _=3а и _=а². Возведем обе части равенства в квадрат:

_+_учитывая , что _, получаем 112+2а²+9а² или а²=16,а=±4. Проверка показывает, что значение а=±4 удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: а=±4.

4. Задачи, решаемые на ограниченном множестве. Введение новой переменной в задачах с параметрами.

В параметрических задачах часто вводят новые переменные (в обычных задачах это тоже бывает нередко). Однако в случаях с параметрами особенно важно проследить за областью изменения новой переменной. Кроме того, возможна переформулировка задачи в терминах новой переменной.

23. Найти а, при которых уравнение _

Решение.

Вводим новую переменную _=t≥0. Видно , что область изменения новой переменной совпадает с исходной, а уравнение заменяется системой

_ переформулировка условия состоит в том, что теперь нужно искать одно решение, но неотрицательное.

24.Найти а, при котором уравнение Sin²х-2(а-1)_{ }

Решение Вводим новую переменную _ а уравнение заменяется системой

_ .

Переформулировка условия состоит в том, что теперь надо искать допустимые решения на t_

25. Найти все значения а, при которых уравнение _

Имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Пусть _

И чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы

D≥0, D=а²+4а-12≥0 _

Найдем а, при которых корни неположительны:

_{ }а_

Ответ: а_

26.При каких значениях а уравнение _

Имеет единственное решение?

Решение.

_ , _ ,и используя условие иррационального уравнения, получим систему

Которая имеет одно решение при условии

_ ,_{  } и при а=-0,75 _

Ответ:_

Задания для самостоятельного решения.

27. Решить уравнение. Х²-2(а-1)х+2а+1=0.

28. Найти все значения а, при которых один из корней уравнения 4х²-15х+4а²=0 равен квадрату другого корня.

Решить уравнения:

29._ 30._=0.

31._=х. 32._Итоговый контроль:

Задания для подготовки к тестированию по математике. Приложение 4

Результаты выполнения вводного и итогового контроля.

Вводный Итоговый

«5»-2 «5»-6

«4»-5 «4»-12

«3»-10 «3»-2

«2»-3 «2»-0

Выводы.

Введение в преподавание элективных курсов темы «Решение задач с параметрами» способствовали создать атмосферу творчества, самостоятельной активности на уроке, повысили мотивационную направленность учебной деятельности ученика. Многим учащимся школьной подготовки по предмету хватило для поступления в выбранные учебные заведения.

Я анализировала свою работу с учащимися старших классов.

За период с 2009-2013г. учащиеся сдавали экзамены в форме ЕГЭ. Результат показал, что я на верном пути.

Данный проект реализован: курс проведен в 10 классе. Были проведены два контрольных теста – вводный и итоговый. Вводный контроль был основан на базовых заданиях 9 класса, а итоговый включал задания контрольно-измерительных материалов ЕГЭ и конкурсных задач в вузы, результаты тестирования показывают стойкую положительную динамику 35%-90%. Дети удовлетворены результатами тестирования и заинтересованы вопросами темы. Были подготовлены рефераты, в которых ученики систематизировали, расширили и углубили знания по теме и подобрали ряд нестандартных задач.

Я считаю необходимым продолжить внедрение программы элективного курса в других классах. Новизна данного проекта заключается в подборе задач, которые значительно расширяют представление учащихся о заданиях с параметрами, углубляют внутрипредметные и межпредметные связи, позволяют применять метод проектов в исследовательских работах.

Разработанная программа может быть полностью внедрена в практику учителями математики. Подводя итоги, считаю, что этот курс нужен и полезен не только любому учителю математике в его профессионально-педагогической деятельности, но и каждому старшекласснику, заинтересованному в успешной сдачи ЕГЭ и сознательному выбору профиля обучения в вузе.

Программа элективного курса была рассмотрена на районном методическом объединении, где получила высокую оценку и рекомендована к утверждению. Предполагается размещение программы на сайте школы.

Использованная литература.

Родионов Е.М. Математика: Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в ВУЗы. м. : Учебный центр «Ориентир» при МГТУ,2001.

Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами - Москва: Просвещение, 1986г.

ЕГЭ «Математика 2009-2013г.»- М.: Просвещение, 2003г.

Гусев В.А. , А.Г.Мордкович. математика : Справочные материалы.-Москва: Просвещение, 1958.

Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы- М «Оникс 21 век», 2001г.

Кормилихин А.А. Об уравнениях с параметром. Математика в школе.-№1,1994.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. 10, 11 кл.-М.: Просвещение, 1989г.

21