Программа элективного курса Решение задач с параметром

Элективный курс

«Решение задач с параметрами »

Пояснительная записка

Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение нового качества школьного образования. В связи с введением в старшей школе профильного обучения, возникла необходимость введения курсов по выбору учащихся. Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания для поступающих в вузы содержат задания с параметрами, которые практически не рассматриваются в школьном курсе математики. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Задачи с параметрами».

Элективный курс «Решение задач с параметрами» является курсом по выбору для учащихся 11 классов. Данный курс относится к предметно – ориентированному типу и составлен для учащихся, желающих пройти целенаправленную математическую подготовку и успешно подготовиться к итоговой аттестации .

Курс служит средством внутрипрофильной специализации в области решения задач, математическое содержание которых выходит за рамки школьной программы и может использоваться не только в физико–математическом профиле, но и в естественнонаучном, социально- экономическом и других направлениях.

Универсальность курса заключается в том, что решение задач с параметрами открывает перед учащимися значительное число различных приёмов, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и при решении любых других математических заданий.

Освоение курса предполагает дальнейшей развитие и формирование учебной, информационной, коммуникативных компетенций.

Наряду с решением основной задачи данный курс предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, требующие математической подготовки, подготовку к ЕГЭ.

Цель элективного курса «Решение задач с параметрами» - систематизация и углубление знаний и учений учащихся в данной области математики, формирования логического мышления и развитие математической культуры у школьников.

.

Задачи курса:

• обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач с параметрами;

• формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;

• развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;

• расширение и углубление курса математики, обеспечивающее повышенный уровень изучения математики;

• формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;

• формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;

• развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

В организации процесса обучения в рамках рассматриваемого курса используются две взаимодополняющие формы: урочная форма и внеурочная форма, в которой учащиеся дома выполняют практические задания для самостоятельного решения.

Предполагаемые результаты

Изучение данного курса дает учащимся возможность формировать и развивать:

Личностные универсальные учебные действия

• Самоопределение, смыслообразование, самооценка на основе критерия успешности, адекватное понимание причин успеха (неуспеха), осознание ответственности за общее дело при организации групповой работы.

Метапредметные универсальные действия

• Целеполагание, планирование, анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация, умение структурировать знания, планирование учебного сотрудничества при работе в парах и группах, выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Предметные универсальные действия

• Формирование научного типа мышления, научных представлений о ключевых теориях, типах и видах отношений, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами решения задач с параметрами, возможность использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, повышение уровня математической культуры, ознакомление и использование на практике нестандартных методов решения задач.

Методическое обеспечение программы

Учебно-методический комплект

Программно- методическое обеспечение элективного курса включает в себя: 

• программу курса; 

• комплект проверочных работ по всем темам курса;

• информационно-содержательную основу реализуемого курса (список литературы).

Учебный процесс может поддерживаться различными учебными пособиями по курсу «Решение задач с параметрами», учебно–методическим комплектом для учителя и конспект–тетрадью для учащихся. 

Материально-техническое обеспечение

1. Информационные образовательные ресурсы:

• http://reshuege.ru/

• http://alexlarin.net/

• http://ege-ok.ru/

• http://ege-study.ru/c5-zadachi-s-parametrami/

• http://infourok.ru/

1. Техническое оборудование:

• Компьютер ( на рабочем столе учителя)

• интерактивная доска,

• медиапроектор,

Используемые методы:

• репродуктивный – умение воспроизвести полученную информацию;

• исследовательский – решение задачи разными способами, выбор наиболее оптимального варианта;

• самостоятельный поиск дополнительной информации, выполнение творческих заданий

Основные принципы, используемые при проведении занятий:

• регулярность (с домашними заданиями);

• опережающая сложность;

• смена приоритетов: при решении сложной задачи приоритет отдается идее, а при решении стандартных, простых задач главное – правильный ответ;

• вариативность (сравнение различных методов и способов решения одной и той же задачи)

Дидактический материал и оснащение занятий

• мультимедийные презентации, подготовленные учителем и учащимися;

• карточки для решения задач;

• карточки с домашними заданиями.

• Электронные тесты, созданные учителем

В процессе изучения курса используется технология блочно – модульного обучения, лично - ориентированная технология, информационные технологии.

Технология блочно - модульного обучения позволяет изложить теоретический материал блоками, в виде лекций, последующее закрепление проводится на практикумах по решению задач. Такая подача теоретического материала позволяет сэкономить время занятий для решения задач. Информационные технологии используются для создания электронных презентации в программе Power Point и создании тестов в программе Microsoft office Exсel. Электронные презентации способствуют наглядности, развитию интереса к изучаемой теме, электронные тесты позволяют проверить знания учащихся и компьютер выдаёт оценку сразу на уроке. Занятия, на которых учащиеся решают электронные тесты, проводятся в компьютерном классе.

На занятиях по решению задач с параметрами учитель использует такие формы контроля как обучающие самостоятельные работы, контрольные работы, тесты, которые оцениваются учителем по пятибалльной системе. Обучающие самостоятельные работы позволят оценить уровень усвоения вопросов курса.

В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который представляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изучаемый материал.

.

Результат обучения выражается в повышение математической культуры, в проявлении умения осуществлять исследовательскую деятельность и применять полученные знания для решения практических задач.

Формы контроля.

• Текущий контроль: самостоятельные работы, тесты

• Тематический контроль: проверочные работы

• Итоговый контроль: итоговая контрольная работа.

• Дополнительно по итогу курса проводится защита групповых и индивидуальных заданий исследовательского типа, рефератов и творческих работ.

Основные требования к знаниям и умениям учащихся.

Выполнение практических занятий имеет целью закрепить у учащихся теоретические знания и развить практические навыки и умения в области алгебры, и успешной сдачи ЕГЭ по математике.

1. Учащийся должен знать схему решения линейных уравнений и неравенств с параметрами.

2. Знать схему решения систем линейных уравнений с параметрами.

3. Знать схему решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

4. Знать схему решения дробно-рациональных уравнений и неравенств

с параметрами.

5. Знать схему решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.

6. Знать схему решения иррациональных уравнений и неравенств с параметрами.

7. Знать схему решения показательных уравнений и неравенств с параметрами.

8. Знать схему решения логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.

9.Анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств с параметром;

1. Применять свойства функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств с параметром;

2. Строить и читать графики функций;

Содержание курса

1. Основные понятия. Уравнения с параметром. (3часа)

Определение параметра. Примеры решения уравнений с параметром. Знакомство со способами решения уравнений с параметром (аналитическим, функциональным и функционально–графическим), рассмотрение общих схем и закономерностей в поиске решений. Систематизация задач по типу ограничений, накладываемых на параметр.

1. Неравенства с параметром. (3 часа)

Примеры решения неравенств с параметром. Знакомство со способами решения неравенств с параметром (аналитическим, функциональным и функционально–графическим), рассмотрение общих схем и закономерностей в поиске решений.

1. Графическая интерпретация задач с параметром. (7часов)

Построение графического образа на координатной плоскости (хОу) и на плоскости (хОа). Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений. Сравнительный анализ аналитического, функционально–графического способов при решении уравнений и неравенств с параметром.

1. Задачи с параметром. (12 часа)

Приемы решения рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем с параметром. Рассмотрение уравнений и неравенств, содержащих различные функции. Выбор оптимального метода решения.

1. Задачи единого государственного экзамена. (9 часов)

Практикум по решению задач, входящих в контрольно- измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Анализ методов решения заданий. Нетрадиционные задачи с параметром. Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций.

Учебно-тематическое планирование

Контрольные материалы.

Проверочная работа № 1 по теме

«Основные понятия. Уравнения и неравенства с параметром»

1. Решить уравнение:

1. Решить неравенство:

1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Ответы к работе:

1. Решить уравнение:

1. Если , то . Если , то или .

2. Если , то . Если , то .

3. Если , то . Если , то . При корней нет.

4. Если , то . Если , то .

При корней нет.

1. Решить неравенство:

1. Если , то .

Если , то .

1. Если , то – любое. Если , то .

2. 

1. Уравнение имеет единственный корень при .

Проверочная работа № 2 по теме

«Графическая интерпретация задач с параметром»

1. При каких а уравнение ( ) имеет единственное решение

1. Решите уравнение аналитически.

2. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – значение».

3. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – параметр».

1. Дано неравенство

1. Решите неравенство аналитически.

2. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – значение».

3. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – параметр».

1. Найдите все значения , при каждом из которых решения неравенства

образуют отрезок длины 1

1. Решите с использованием плоскости «переменная – значение».

2. Решите с использованием плоскости «переменная – параметр».

3. Проверьте решение аналитически.

Ответы к работе:

1. а = -4 или а = -13

2. Если , то . Если , то .

3. Если ,

Проверочная работа № 3 по теме

«Задачи с параметром»

1. Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует только одно значение , удовлетворяющее системе:

2. Решить уравнение

1. 

2. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых для лю­бо­го х из про­ме­жут­ка   зна­че­ние вы­ра­же­ния   не равно зна­че­нию вы­ра­же­ния 

1. Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, для ко­то­рых не­ра­вен­ство   имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

2. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство   вы­пол­ня­ет­ся для любых 

3. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ре­ше­ние.

Ответы к работе:

1. 

2. Решить уравнение:

Итоговая работа

1.  Найти все зна­че­ния   при каж­дом из ко­то­рых функ­ция

имеет более двух точек экс­тре­му­ма.

1. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два ре­ше­ния.

1. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ре­ше­ние.

1. Най­ди­те все зна­че­ния   при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние   либо имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, либо не имеет ре­ше­ний..

1. .  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 4 ре­ше­ния.

Ответы к итоговой работе:

1.   ; 

2. 

3. 

4. 

5. 

Комплекс задач с параметром

Задачи с параметром для решения в координатной плоскости (хОу)

1. Найдите все зна­чения параметра b, при которых уравнение lg 2|х|+ lg(2-х)-lg(lg b) = 0 имеет единственное решение.

2. При каком наименьшем натуральном значении n уравнение х³ +3х² - 45х + n = 0 имеет ровно один корень?

3. При каких значениях параметра анера­венство а-х име­ет решения?

4. Найдите все значения параметра k, при которых система уравнений имеет два различных решения.

5. Найдите все пары чисел р и q, при которых неравенство не имеет решений на отрезке [1;5].

6. При каких значениях параметра а уравнение 3 - = а имеет одно решение?

7. При каких значениях параметра а уравнение ах – 1 = имеет единственное решение?

8. Сколько корней имеет уравнение ?

Задачи с параметром для решения в координатной плоскости (хОа)

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня?

2. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение.

3. При каких значениях параметра а уравнение (а+4х-х²-1)(а+1-|х-2|)=0 имеет три корня?

4. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 3‌‌-‌‌‌ х²‌ имеет хотя бы одно отрицательное значение.

5. Найдите множество значений параметра а, для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

6. При каких значениях параметра а система имеет решение?

7. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет одно решение.

ТЕСТ 1 

Вариант I.


1.Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k =-2 ;

б) при k -2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k =-2 и k =0,25 .


2.Решите уравнение 2а( а - 2)х = а² – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 .


3.При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.

а) b1 ; в) b=1 

4.При каких значениях а парабола у = ах² – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

5.При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

ТЕСТ 2 

Вариант I.


1.Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.


а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;


б) при b [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;


в) b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;


2.Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение sin2 x – 3sin x + a =0.


а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ).


3.При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет корни?


а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ).


Тест 3

Вариант 1

1. Решите уравнение   относительно х.

а)  , при m  0.

б) 1) при m = 0 корней нет;

2) при m  0  ;

в) 1) при m = 0 корней нет;

2) при m  0  .

2. Решите уравнение   относительно х.

а) 1) при    ;

2) при   корней нет;

3) при   

б) 1) при    ;

2) при   корней нет;

3) при   

в) 1) при    ;

2) при   корней нет;

3) при  ;

4) при   

3. При каких значениях b уравнение   имеет отрицательное решение?

а) при b 

б) при b  1;

в) при b 


4. При каких значениях а произведение корней уравнения   равно нулю?

а) при  ;

б) при  ;

в) при  .


5. При каком значении b сумма квадратов корней уравнения   принимает наименьшее значение?

а) таких значений нет;

б) при  ; в) при  .

Литература:

1. Материалы курса «Как научить решать задачи с параметрами» — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014. — 80 с.

2. Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решения: Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: АРКТИ. 2004. – 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

3. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. — М.: АРКТИ,2004. — 96 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

4. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы Учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: АРКТИ, 2005. - 96 с. (Абитуриент).

5. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. — М.: АРКТИ, 2010. — 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

6. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. — М.: АРКТИ, 2010. — 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

7. Материалы сайта «РЕШУ ЕГЭ»: математика http://reshuege.ru/

8. Материалы сайта http://alexlarin.net/

9. .Журнал «Квант

10. Журнал «Математика в школе». рубрика «Готовимся к ЕГЭ».

11. Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов и учителей. 2-е изд. дораб. М.: Просвещение, 1991 г

12. Г.Я. Ястребеницкий «Задачи с параметрами», М.:Просвещение,2006г.

13. Единый государственный экзамен.Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ ФИПИ –М.: Интеллект- Центр, 2014.

Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2012. Функция и параметр (типовые задания С5