Пояснительная записка
Современный этап развития цивилизации характеризуется выходом математики на одно изведущих мест в системе научных знаний и их приложений в практике- в производстве, управлении и в социально-экономической практике. Эту одну из современных черт научно-технической революции принято называть математизацией знаний. Математические методы расширили область своего применения Тем самым мы приходим к тому, что при углублённом образовании должна быть адекватным, но доступным образом отражена математизация знаний. Это достигается соответствующим определением содержания математического образования.
Курс «Алгебра плюс» систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.
Основной целью изучения курса является:
Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.
Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.
Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.
Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.
Получение представления об универсальном характере математических методов, о тесной взаимосвязи элементарной алгебры с высшей математикой: арифметикой, алгеброй, математическим анализом; о единстве математики в целом.
Развитие внутренней мотивации и интрапсихического фактора поисковой активности в предметной деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней.
При изучении курса « Алгебра плюс» перед учащимися ставятся следующие конкретные задачи:
- получение знаний об основных логических и содержательных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональными функциями/выражениями; овладение навыками соответствующих алгебраических преобразований выражений и логических преобразований алгебраических задач;
- овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;
— освоение методов решения и исследования вычислительных и логических задач с параметрами;
— получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, алгебры, математического анализа) с элементарной алгеброй на основе использования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.
Требования к уровню подготовки учащихся
Образовательные результаты
Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, неравенства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.
Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существования и всеобщности, кванторы. Логические задачи с параметрами. Координатная интерпретация задач с параметрами.
Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано— Тарталья,
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координатная интерпретация. Метод областей.
Уравнения и системы с несколькими переменными. Основные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограниченности, оценок и монотонности. Системы с тремя переменными — основные методы.
Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).
История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).
Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:
- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);
- умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симметрии, однородности, оценок, монотонности;
- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.
Общеинтеллектуальные умения:
- умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное, достоверное в той или иной информации;
- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;
- умение конструктивно подходить к предлагаемым заданиям;
- умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.
Общекультурные компетенции:
- понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;
- понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;
- восприятие математики как развивающейся фундаментальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во взаимосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.
Адаптированная программа элективного курса «Алгебра плюс» класса составлена на основе авторской программы А.Н. Землякова элективного курса «Алгебра плюс» М. «Бином. Лаборатория знаний» 2007 год, составитель А.Н. Земляков. Авторская программа рассчитана на 34 часа изучения в 11 классе.
Учебно-тематический план
№ п/п | Наименование разделов, тем | Количество часов |
1 | Рациональные алгебраические системы | 15часов |
2 | Иррациональные алгебраические задачи | 19 часов |
Программа курса
Тема 1. Рациональные алгебраические системы.
Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными.
Замена переменных в системах уравнений.
Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).
Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.
Метод разложения при решении систем уравнений.
Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.
Оценка значений переменных.
Сведение уравнений к системам.
Системы с тремя переменными. Основные методы.
Системы Виеты с тремя переменными.
Тема 2. Иррациональные алгебраические задачи.
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.
Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).
Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.
Смешанные системы с двумя переменными.
Учебно-методический комплекс:
1.Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-118с.: ил.
.Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.-319с. ил.
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – М.: «Просвещение», 2009
. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 11класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – М.: «Просвещение», 2010
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.-М.:Илекса,2005,-208с.
Шепелева Ю.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10класс. Базовый и профильный уровни. – М.: «Просвещение», 2009
Шепелева Ю.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 11класс. Базовый и профильный уровни. – М.: «Просвещение», 2009
№ урока | Изучаемый материал | Кол-во часов | Дата |
1 | Решение уравнений с двумя переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными | 1 | |
2 | Однородные уравнения с двумя переменными. О симметрических многочленах от двух переменных. | 1 | |
3 | Общий метод постановки. Линейные подстановки. | 1 | |
4 | Однородные системы | 1 | |
5 | Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования. | 1 | |
6 | Метод замены. Система Виета. | 1 | |
7 | Общие симметрические системы. | 1 | |
8 | Решение систем методом разложения. Примечательный пример | 1 | |
9 | Поучительный пример. Метод оценок. | 1 | |
10 | Метод итераций. Сведений уравнений к системам. | 1 | |
11 | Оценка значений переменных. | 1 | |
12 | Метод подстановки. Метод замены. | 1 | |
13 | Использование однородности. Система Виета с тремя переменными. | 1 | |
14 | Симметрические системы. Метод разложения. | 1 | |
15 | Иррациональные алгебраические выражения | 1 | |
16 | Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. | 1 | |
17 | Неэквивалентные преобразования с проверкой. | 1 | |
18 | Метод эквивалентных преобразований. | 1 | |
19 | Сведение уравнений к системам. | 1 | |
20 | Освобождение от кубических радикалов. | 1 | |
21 | Использование монотонности. | 1 | |
22 | Использование однородности. | 1 | |
23 | Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений. | 1 | |
24 | Эквивалентных преобразований неравенств. | 1 | |
25 | Дробно – иррациональные неравенства. | 1 | |
26 | Метод интервалов при решение иррациональных неравенств. | 1 | |
27 | Замена при решении иррациональных неравенств. | 1 | |
28 | Использование монотонности при решение неравенств. | 1 | |
29 | Смешанные системы с двумя переменными. | 1 | |
30 | Уравнения с модулями | 1 | |
31 | Неравенства с модулями | 1 | |
32 | Комбинированные задачи с модулями | 1 | |
33 | Решение заданий ЕГЭ | 1 | |
34 | Решение заданий ЕГЭ | 1 | |