"Производная функции. Определение, геометрический смысл, правила дифференцирования"

Производная функции

• Определение производной
• Геометрический смысл производной
• Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
• Производные основных элементарных функций
• Правила дифференцирования
• Производная сложной функции
• Производная неявно заданной функции
• Логарифмическое дифференцирование

Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b) .

Аргументу x придадим некоторое приращение :

Найдем соответствующее приращение функции:

y

Если существует предел

f(x+ Δx )

то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

f(x )

0

х

х

x+ Δx

Определение производной

Итак, по определению:

Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b) , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием .

Значение производно функции y = f(x) в точке x 0 обозначается одним из символов:

Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М 1 :

Через точки М и М 1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

y

y

М 1

f(x+ Δ x )

М

М

f(x )

f(x )

φ

α

0

х

х

x+ Δ x

0

х

х

При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М 1 неограниченно приближается по кривой к точке М , а секущая ММ 1 переходит в касательную.

Геометрический смысл производной

Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x .

Если точка касания М имеет координаты (x 0 ; y 0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x 0 ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение касательной

Уравнение нормали

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.

Доказательство:

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х , следовательно существует предел:

при

где

По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

Функция y = f(x) – непрерывна.

Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций

1

Степенная функция:

Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:

Формула бинома Ньютона:

K – факториал

Производные основных элементарных функций

По формуле бинома Ньютона имеем:

Тогда:

Производные основных элементарных функций

2

Логарифмическая функция:

Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Теорема

Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Пример

Вычислить производную функции

Пример

Вычислить производную функции

Данную функцию можно представить следующим образом:

Коротко:

Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y , то говорят, что функция задана в явном виде .

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y :

Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х , рассматривая при этом y как функцию от х , и полученное выражение разрешить относительно производной.

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать , а затем результат продифференцировать .

Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.

Функция называется степенно – показательной .

Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.