«Производная и ее применение»

Тема урока

«Производная и ее применение»

Цель урока:

обобщить этапы и методы изучения темы «Производная»; развить навыки работы в коллективе, умения излагать изученный материал; подготовка к ЕГЭ

Задачи урока:

• обучающие : закрепление и систематизация учебного материала, формирование образовательной компетентности; использование производной в различных сферах жизнедеятельности.
• развивающие: развитие приёмов умственной деятельности, памяти, внимания, умения сопоставлять, анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, характерные для каждого раздела изучения производной.
• воспитательные : стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;

воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

Фирма «Алгоритм»

«Теория без практики мертва или бесплодна.

Практика без теории невозможна или пагубна.

Для теории нужны знания, для практики — умения»

А.Н. Крылов

Личные качества сотрудника:

• Компетентность,
• Мобильность,
• Умение находить необходимую информацию и преобразовывать её,
• Умение работать в коллективе…

Практика без теории невозможна или пагубна.

История возникновения дифференциального исчисления

В Древней Греции задачи на отыскание наибольших и наименьших значений были достаточно популярны. Задачи такого типа содержатся в трудах Евклида и Архимеда. Но в древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами, не связанными общей идеей .

(ок. 365 — 300 до н. э.)

Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.)

Производная в экономике

Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой

f(x)=-0,02x 3 + 600x -1000.

Исследовать потенциал предприятия.

Решение:

Функция исследуется с помощью производной.

• f’(x) = - 0,06x²+600
• f’(x) = 0,
• - 0,06x²+600 = 0,
• х = 100
• Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума.

Вывод:

Финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц,

при х =100

они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц.

Дальнейший рост производства приводит к

сокращению финансовых накоплений.

Для теории нужны знания,

Для практики - умения»

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x) , определенной на интервале (–10; 8) . В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.

№ 3

Решение:

Заметим, что на отрезке [–8; –4]

производная функции

отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит,

наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом

конце отрезка, то есть в точке –4 .

у = f ′(x)

f(x)

–

Ответ: –4.

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку [– 6; 6] .

№ 4

Решение:

В точке экстремума производная функции

равна 0 либо не существует.

Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–» , либо с «–» на «+» .

у = f ′(x)

+

+

–

–

Ответ: 3.

Ключ для проверки теста

1. 

С

2. 

В

3. 

D

4. 

A

5. 

D

Лестница успеха

« 5»

«4»

«3»

« Первый шаг»

Ты - молодчина! И в это поверь.

Открыта тобой в мир знаний дверь.

Надеемся мы, что лет через пять

Лучшим по профессии сможешь ты стать.

« Музыка - может возвышать или умиротворять душу,

Живопись - радовать глаз,

Поэзия - пробуждать чувства,

Философия - удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело- совершенствовать материальную сторону жизни людей,

А математика способна достичь всех этих целей »

(американский математик

Морис Клайн.)

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.

№ 6

Решение:

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2 , а значит нам нужно найти

количество точек, в которых производная функции

f ′(x) = –2 . Для этого на графике производной проведем прямую у = –2 , и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4 .

у = f ′(x)

у = –2

Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (–6; 5) . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

№ 7

у

Решение:

Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.

Таких точек 6 :

х = −4, х = −3, х = − 2,

х = − 1, х = 0, х = 3 .

у = f(x)

х

– 6

– 4

5

– 1

– 2

0

– 3

3

Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале ( – 6; 6) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = – 5 .

№ 8

у

Решение:

Прямая у = − 5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках

k = f ′(х) = 0 .

В нашем случае – это точки экстремума.

Таких точек 6 .

1

у = f(x)

х

0

6

– 6

3

5

6

4

2

у = –5

– 5

Ответ: 6.

0 , так как α – острый угол (tg α 0) . Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25 у = f(x) В α 5 х о α С 4 А Ответ: 1,25. " width="640"

На рисунке изображен график у = f(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–7; 5) и

касательная к нему в точке с абсциссой х о . Найдите значение производной функции f(x) в точке х о .

№ 9

Решение:

Значение производной функции

f ′(х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,

проведенной к графику этой функции в данной точке.

В нашем случае k 0 , так как

α – острый угол (tg α 0) .

Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.

Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.

tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25

у = f(x)

В

α

5

х о

α

С

4

А

Ответ: 1,25.