Производная и её применение.

Производная

и ее применение

Конспект открытого урока в 11^б классе

Учитель: Гадживахидова Ф.А.

23. 03. 18г.

ЦЕЛИ УРОКА:

Обучающие: систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач. Подготовка к ЕГЭ.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способность к «видению проблемы», формировать умение чётко и ясно излагать свои мысли, аргументировать доводы.

Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, оказывать помощь в коллективной деятельности, воспитывать уважение к предмету, воспитывать чувства ответственности и сопереживания

Тип урока: комбинированный: обобщение, закрепление навыков применения свойств элементарных функций, применение уже сформированных знаний, умений и навыков применения производной в нестандартных ситуациях.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию

возможность изображать математически

Не только состояния, но и процессы движения».

Ф.ЭНГЕЛЬС.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Приветствие.

Обсуждение темы занятия. На доске записаны словосочетания: промежутки монотонности; экстремумы функции; стационарные точки; приращение аргумента.

-Какое понятие алгебры и начала анализа объединяет их?( Производная функции)

-Правильно ребята. Сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.Запишите тему урока.

2.Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

а)актуализация опорных знаний.

- Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?

1 ученик. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной - это мгновенная скорость.Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная «дочь»). Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.

2 ученик. Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница ). Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Готфрид Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

3 ученик. Оказывается также, что с помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

На практике часто приходится решать так называемые задачи на оптимизацию (optimum-наилучший) . Инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так , чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.

- Можно сделать вывод, что производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике (физике) – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции. А знаете кто ввел термин «производная»--- Жозеф Луи Лагранж (25.01.1976 – 10.04.1813 )Французский математик, астроном и механик. В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

3.Устная работа.

-На доске написаны все формулы и правила для вычисления производных. Надо заполнить пропуски.

1 (lnx)^/=…, (sinx)^/=…, (log_ax)^/=…, (cosx)^/= …, (e^x)¹=…,(cu)^/=…, ( x ⁿ) ^/ =…,( tgx)^/ =…,(u+v)^/=…, (ctgx)^/=…, (uv)^/=…, (u/v)^/=…, ( a^x)^/ =…,(f(g(x))^/=…, c^/=…

4. РАБОТА по карточкам «Проверь себя и своего соседа»

Ученикам предложено найти производные функций.

Вариант 1. Вариант 2.

6) f(x) = ln (5-x)  6) f(x) = 78 π x

7) f(x) = e^2x7) f(x) = (4х-2)³

Ответы. Вариант 1.1) f'(x) = 2 2)f'(x) = 3x² 3)f'(x) = 2(3x² – 2) (x³ – 2x) 4)f(x) = 2 cosx 

5) f'(x) = 5/ sin²(2 – 5x) 6) f'(x) = -1/ (5-x) 7) f'(x) = 2 e^2x 

Вариант 2. 1) f'(x) = 12x³ – 21x² + 4x 2) f(x) = – 8(3 – 4x)  3) f'(x) = – 8x 4) f'(x) = sin (3x + р/4)
5) f'(x) = 6x² – 9cos 3x 6)f'(x) =78 π  7) f'(x) = 12(4х-2)² 

5.Закрепление навыков.

1.Исследуйте функцию на возрастание и убывание, на экстремумы: а)у = 4х – 5; б) у = 3х³ + 5х в)у = sinх – 7х

2.а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 14х - х² + 5 в точке с абсциссой х₀ = 3. 

б) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2х²+ 12х -3 в точке с абсциссой х₀ = 2.

3. При движении тела по прямой расстояние S (в метраx) от начальной точки изменяется по закону S(t) =   t³ - 4t² + 15t + 2 (t - время движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 2 секунды после начала движения.

6. Найдите:наименьшее значение функции:y=4x³ - x⁴ на отрезке [-2;3]

наибольшее значение функции: y=4x + 2x² - x³ на отрезке [0;3]

-При выполнении заданий из ЕГЭ мы должны отвечать на вопросы, используя график производной некоторой функции.

• Сколько промежутков убывания имеет функция?

• Назовите наибольшую из длин промежутков возрастания функции.

• Назовите точки минимума, точки максимума.

• Назовите точку, в которой функция имеет наибольший угловой коэффициент касательной.

• Назовите количество точек, в которых касательная к графику функции наклонена под углом 45º к оси Х.

6.Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Учитель: Давайте вспомним, какова была цель нашего занятия.

Ученики: Закрепить умения находить производную и ее применение при исследовании функции.

Учитель: Как вы думаете, мы достигли этой цели?

Ученики: Да.

Учащиеся сами выставляют себе оценки, исходя из листов самооценивания.

От 20-25 баллов – оценка 5; от 15-20 – оценка 4; от 10-15 – оценка 3.

7.Домашнее задание.

Учебник пункт 48____ (повторить), решить стр.258 _№ проверь себя_______________

8.Рефлексия.

«АНКЕТА»

1. На уроке я работал

2. Своей работой на уроке я

3. Урок для меня показался

4. За урок я

5. Мое настроение

6. Материал урока мне был