Производная и ее применение

Производная

и ее применение

у = kx + b

Касательная к кривой

y

f(x o )

у = f(x)

х

х o

0

Касательная

y = kx + b

к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х о ; f(x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′(х о ).

у

f(x o )

y = f(x)

α

х о

0

х

k = f ′(x o ) = tg α –

это угловой коэффициент касательной.

Общий вид уравнения касательной

y = f ′(x o )(x – x o ) + f(x o )

Алгоритм составления уравнения касательной

1) Находим значение функции в точке х о : f(x o ) .

2) Дифференцируем функцию: f′(x) .

3) Находим значение производной в точке х о : f′(x o ) .

4) Подставляем эти данные в общее уравнение

касательной: y = f′(x o )(x – x o ) + f(x o ) .

Общий вид уравнения касательной

y = f ′(x o )(x – x o ) + f(x o )

Пример:

Составить уравнение касательной к графику

функции у = 3х 2 – 4х + 5, в точке х о = 1.

1) f(1) = 3· 1 2 – 4· 1 + 5 = 4

2) f′(x) = 6х - 4

3) f′(1) = 6 · 1 – 4 = 2

• y = 2(x – 1) + 4

Ответ: у = 2х + 2.

1

Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 8х + 6 .

Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее х о ), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11 ) равен значению производной функции в точке х о :

k = f ′(x o ) = 4

Производная функции

f ′(x) = (х 2 + 8х + 6)′ = 2x + 8 .

Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2х o + 8 = 4 ,

откуда х о = – 2 .

Ответ: – 2.

Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику

2

функции у = x 3 − 3x 2 − 6x + 6 .

Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх 2 − 6х − 6 = 3 , то есть Зх 2 − 6х − 9 = 0 или х 2 − 2х − 3 = 0 . Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3 . Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х 3 − Зх 2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3 .

Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая

у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.

Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8 ,

а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12 . Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11 . А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11 .

Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1 .

Ответ: −1.

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.

3

Решение:

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2 , а значит нам нужно найти

количество точек, в которых производная функции

f ′(x) = –2 . Для этого на графике производной проведем прямую у = –2 , и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4 .

у = f ′(x)

у = –2

Ответ: 4.

0 , так как α – острый угол (tg α 0) . Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25 у = f(x) В α 5 х о α С 4 А Ответ: 1,25. " width="640"

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой х о . Найдите значение производной функции f(x) в точке х о .

4

Решение:

Значение производной функции

f ′(х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,

проведенной к графику этой функции в данной точке.

В нашем случае k 0 , так как

α – острый угол (tg α 0) .

Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.

Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.

tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25

у = f(x)

В

α

5

х о

α

С

4

А

Ответ: 1,25.

5

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой х о . Найдите значение производной функции f(x) в точке х о .

Решение:

Значение производной функции

f ′(х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,

проведенной к графику этой функции в данной точке.

В нашем случае k , так как

α – тупой угол (tg α .

Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.

Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.

tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75

tg α = − tg (180°− α) = −0,75

В

у = f(x)

α

6

х о

180° − α

С

А

8

Ответ: −0,75.

Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах 2 + 34х + 11 . Найдите а .

6

Решение:

Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за х o принять абсциссу точки касания, имеем: 2ах o + 34 = 4 . То есть ах o = –15 .

Найдем значение исходной функции в точке касания:

ах o 2 + 34х o + 11 = –15x o + 34х o + 11 = 19х o + 11 .

Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:

19х o + 11 = 4х o – 4 , откуда х o = –1 .

А значит a = 15 .

Ответ: 15.

Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х 2 + bх + 20 . Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0 .

7

Решение.

Если х о – абсцисса точки касания, то 18x o + b = –4 , откуда b = – 4 – 18х о .

Аналогично задаче №12 найдем х о :

9x o 2 + (– 4 – 18х о ) x o + 20 = – 4х o – 5 ,

9x o 2 – 4x o – 18х о 2 + 20 + 4х o + 5 = 0 ,

– 9x o 2 + 25 = 0 ,

х о 2 = 25/9 .

Откуда x o = 5/3 или x o = –5/3 .

Условию задачи соответствует только положительный корень, значит x o = 5/3 , следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3 , имеем b = –34 .

Ответ: –34.

8

Прямая у = 2 х – 6 является касательной к графику функции х 2 + 12х + с . Найдите с .

Решение.

Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания х о и приравняем значение производной функции в точке х о угловому коэффициенту касательной.

2х о + 12 = 2 , откуда x o = –5 .

Значение исходной функции в точке –5 равно:

25 – 60 + с = с – 35 , значит с – 35 = 2 ∙ (–5) – 6 ,

откуда с = 19 .

Ответ: 19.

0 внутри промежутка Х, то функция f возрастает на этом промежутке. 2) Если f′(x) f убывает на этом промежутке. 3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка Х, то функция f постоянна на этом промежутке. Примеры: 1 о f(x) = 3x 3 + 4x f ′(x) = 9x 2 + 4 0  f(x) возрастает при х  R 2 о f(x) = – 2x 5 – 6x f ′(x) = – 10x 4 – 6  f(x) убывает при х  R 3 о f(x) = 12 f ′(x) = 0  f(x) постоянна при х  R " width="640"

Монотонность функций

1) Если f′(x) 0 внутри промежутка Х, то функция

f возрастает на этом промежутке.

2) Если f′(x)

f убывает на этом промежутке.

3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка Х, то функция

f постоянна на этом промежутке.

Примеры:

1 о f(x) = 3x 3 + 4x

f ′(x) = 9x 2 + 4 0  f(x) возрастает при х  R

2 о f(x) = – 2x 5 – 6x

f ′(x) = – 10x 4 – 6  f(x) убывает при х  R

3 о f(x) = 12

f ′(x) = 0  f(x) постоянна при х  R

Максимум функции

Точка х о называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х о , что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x) o ) .

Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–» , то х о – точка локального максимума функции f(x).

max

+

–

f ′(x)

x

x o

f (x)

f (x о ) – максимум функции

f(x o ) . Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+» , то х о – точка локального минимума функции f(x). min + – f ′(x) x x o f (x) f (x о ) – минимум функции " width="640"

Минимум функции

Точка х о называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х о , что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x o ) .

Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+» , то х о – точка локального минимума функции f(x).

min

+

–

f ′(x)

x

x o

f (x)

f (x о ) – минимум функции

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку [– 6; 6] .

9

Решение:

В точке экстремума производная функции

равна 0 либо не существует.

Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–» , либо с «–» на «+» .

у = f ′(x)

+

+

–

–

Ответ: 3.

10

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8) .

.

Решение:

Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке

х о = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+» , точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.

у = f ′(x)

+

–

Ответ: 4.

11

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале ( – 6; 6) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = – 5 .

у

Решение:

Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f ′(х) = 0 .

В нашем случае – это точки экстремума.

Таких точек 6 .

1

у = f(x)

х

0

6

– 6

3

5

6

4

2

у = –5

– 5

Ответ: 6.

12

На рисунке изображен график производной у = f ′(x)  –функции f(x) , определенной на интервале (–11; 11) . Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [ − 10; 10] .

.

Решение:

В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует . Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.

В точках х 2 и х 4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.

у

у = f ′(x)

+

+

+

– 10

0

–

–

–

х

10

f(x)

х 3

х 2

х 4

х 5

х 1

max

max

Ответ: 2.

0 и f′(x) 4 о Полученные данные изображаем на схеме: f ′(x) + – + – x x 1 x 3 x 2 f (x) 5 o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ]. б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞). " width="640"

Алгоритм исследования функции на монотонность

1 о Дифференцируем функцию: f′(x).

2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.

3 о Решаем неравенства: f′(x) 0 и f′(x)

4 о Полученные данные изображаем на схеме:

f ′(x)

+

–

+

–

x

x 1

x 3

x 2

f (x)

5 o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ].

б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞).

0 и f′(x) 4 о Полученные данные изображаем на схеме: f ′(x) + + – – x x 1 x 3 x 2 f (x) 5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ); f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. " width="640"

Алгоритм исследования функции на экстремумы

1 о Дифференцируем функцию: f′(x).

2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.

3 о Решаем неравенства: f′(x) 0 и f′(x)

4 о Полученные данные изображаем на схеме:

f ′(x)

+

+

–

–

x

x 1

x 3

x 2

f (x)

5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума.

б) f(x 1 ); f(x 3 ) – максимумы функции;

f(x 2 ) – минимум функции.

0 и f(x) Дифференцируем функцию: f′(x). Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. " width="640"

Полное исследование функции, построение графика

• Находим область определения функции D(f) и множество ее значений Е(f).
• Определяем четность (нечетность), периодичность функции.
• Находим точки пересечения с осями координат из условий: (0; f(0)) и f(x)= 0.

Пусть это: x 01 ; x 02 ; x 03 ; …

• Находим промежутки знакопостоянства, решая неравенства f(x) 0 и f(x)

• Дифференцируем функцию: f′(x).
• Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.

0 и f′(x) Полученные данные изображаем на схеме: f ′(x) – + + – x x 1 x 3 x 2 f (x) Указываем промежутки монотонности функции а) промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ]; б) промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞). " width="640"

Полное исследование функции, построение графика

• Решаем неравенства: f′(x) 0 и f′(x)
• Полученные данные изображаем на схеме:

f ′(x)

–

+

+

–

x

x 1

x 3

x 2

f (x)

• Указываем промежутки монотонности функции

а) промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ];

б) промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞).

Полное исследование функции, построение графика

• Определяем точки экстремума и сами экстремумы функции:

a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума.

б) f(x 1 ); f(x 3 ) – максимумы функции;

f(x 2 ) – минимум функции.

• Изображаем все полученные данные в системе координат, строим график функции y = f(x).

Построение графика

(х 1 ; f(x 1 )); (х 2 ; f(x 2 )); (х 3 ; f(x 3 )) – точки экстремумов

х 01 ; x 02 ; x 03 ; x 04 ; f(0) – точки пересечения с осями

Через данные точки проводим плавную кривую

у

f(x 1 )

f(x 3 )

x 2

x 04

x

x 3

x 1

x 01

x 03

x 02

0

f(0)

f(x 2 )

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке

1 о Выясняем существование функции на данном

отрезке [a; b].

2 о Дифференцируем функцию: f′(x).

3 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.

4 о Отбираем те точки, которые принадлежат

заданному промежутку [a; b].

5 о Находим значение функции в этих точках и на

концах промежутка: f(a); f(b); f(x 1 ); f(x 2 ); и т. д.

6 о Выбираем среди полученных значений наибольшее

или наименьшее.

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x) , определенной на интервале (–10; 8) . В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.

13

Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции

отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом

конце отрезка, то есть в точке –4 .

у = f ′(x)

f(x)

–

Ответ: –4.

Используемые материалы

• Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2008
• ЕГЭ 2012. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с.
• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года