Производная и ее применение

Класс: 11 класс

Тема урока:«Производная и ее применение»

Цель урока: создание условий повторения и обобщения знаний учащихся, закрепления умения применять производную для решения различных задач.

Задачи урока:

обучающая: повторить и обобщить знания учащихся основных формул и правил дифференцирования; закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий;

развивающая: развивать умения применять знания в конкретной ситуации; развивать логическое мышление, монологическую речь, навык работы в группе;

воспитательная: воспитывать устойчивый интерес к математике; воспитывать аккуратность, внимательность, настойчивость в достижение цели.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний и умений.

Применяемая технология:

технология личностно–ориентированного обучения; ИКТ;

Образовательный продукт:

Презентация. Электронный справочник по теме. Практикум.

Оборудование: персональный компьютер, документ камера, проектор, учебник, карточки для рефлексии настроения и результативности, плакаты «Производные элементарных функций», «Правила дифференцирования», «Графики функций и их производных».

Список литературы:

1. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 классов средней школы [Текст]/ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. – М.: Просвещение, 2013. – 271 с.

2. Ивлев, Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса[Текст] / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд – М.: Просвещение, 1990. – 176 с.

Ход занятия

Этап занятия

ФОУД (форма организации учебной деятельности)

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Формируемые универсальные учебные действия

Время (минуты)

I. Мотивационно-целевой этап.

1.Организационный момент

Ф

Приветствие. Обсуждение темы занятия.

Ребята, отгадайте ключевое слово урока

1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй, …;

4) Обозначается штрихом.

Рапорт дежурного, фиксация отсутствующих.

П: умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание моральных норм и умение выделить нравственный аспект поведения

К: управление поведением партнёра — контроль, коррекция, оценка его действий.

12

2.Мотивационный этап. Постановка темы, цели и задач урока

Ф

Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.

Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Как вы думаете, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные формулы и правила дифференцирования, узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике, химии, физике, биологии, географии, экономике.

Формулирование цели урока, высказывание своего мнения.

П: поиск и выделение необходимой информации. Структурирование знаний.

К: умение слушать и вступать в диалог, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Р: самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему

II. Процессуально-познавательный этап.

1.Изучение нового материала

Ф

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.

Понятие производной возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработал и теорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Готфрид Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь.

Участвовать в обсуждении проблемных вопросов, формулировать собственное мнение и аргументировать его.

П: формируем умение в создании алгоритма деятельности; формируем умение представлять информацию в виде схемы; формируем умение выявлять сущность, особенности объектов; формируем умение на основе анализа объектов делать выводы;

К: формируем умение участвовать в диалоге; формируем умение точно выражать свои мысли

Р: Предвосхищают результат и уровень усвоения

27

2. Историческая справка

И

Доклад ученика о жизнедеятельности Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июня 1646 в городе Лейпциг. Его отец-юрист и профессор философии, умер, когда Лейбницу было 6 лет.

Сначала Лейбниц интересовался только философией. В 1666 году получил звание доктора юридических наук. Первые его математические труды были написаны в 1668 и 1671 годах. Математическое образование Лейбниц получил в Париже и Лондоне. В Париже Лейбниц сделал счетную машину. Создание дифференциального и интегрального исчисления является достижением всей его жизни. Он открыл геометрический смысл производной. Лейбниц пришел к открытию производной при решении вопроса о нахождении касательной к кривой.

Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».

Создатель Берлинской академии наук, основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.

Умер 14 ноября 1716 в Ганновере.

Доклад ученика о жизнедеятельности Исаака Ньютона (1643-1727).

Исаак Ньютон родился в семье бедного фермера в городе Вулсторп. После окончания школы он поступил в Тринити Колледж. Там он получил степень магистра (1668). Затем Ньютон возглавил кафедру математики и физики в Кембриджском университете, которой руководил 32 года.

Исаак Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736г.

Главный его труд - «Математические начала натуральной философии» - оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Ньютон первый создал основы дифференциального и интегрального исчислений, создал основы теории всемирного тяготения, новую теорию света и цветов.

В его трудах по математике приведено решение таких вопросов, как нахождение экстремумов функций, точек перегиба, уравнений касательных и приведены методы решения простейших дифференциальных уравнений.

В 1690 году Ньютон был избран членом Академии Наук в Париже. Интересно, что Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

Великий ученый умер в 1727 году.

Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Учащиеся читают доклад, остальные ребята слушают, задают вопросы.

П: устанавливать причинно-следственные связи

К: формируем умение спрашивать, интересоваться другим мнением, принимать другую точку зрения

3.Физ.минутка

4.Повторение пройденного материала

Ф, П, И

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

Сформулировать понятие производной функции?

Ответ: Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Как называется математическая операция нахождения производной функции?

Ответ: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

В чем заключается геометрический смысл производной функции?

Ответ: Значение производной функции в точке : .

А уравнение касательной к функции в точке имеет вид: .

Открыл геометрический смысл производной в 17-м в. Г. Ф. Лейбниц.

Какой знак имеет производная на интервале, если функция возрастает?

Ответ: Если функция возрастает, то на этом интервале.

Какой знак имеет производная на интервале, если функция убывает?

Ответ: если функция убывает, то на этом интервале.

В чем состоит физический (механический) смысл производной функции?

Ответ: Если тело движется по прямой согласно закону , то формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени : и .

Открыл механический смысл производной И. Ньютон.

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете.

Учитель просит сформулировать правила нахождения производной.

Учащиеся называют основные правила нахождения производных.

Должны прозвучать ответы:

1. Производная суммы ;

2. О постоянном множителе ;

3. Производная произведения ;

4. Производная дроби ;

5. Производная сложной функции .

Учитель просит вспомнить таблицу производных элементарных функций.

Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом – производной.

Участвовать в работе по решению примеров

Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь (работать в парах).

Оценивать правильность выполнения заданий.

Участвуют в обсуждении проблемных вопросов, формулируют собственное мнение и аргументировать его.

П: структурировать знания; выявлять сходства и различия объектов; строить логические цепи рассуждений; выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных; выделять формальную структуру задачи;

выражать структуру задачи различными средствами (рисунки, символы, схемы и знаки);

самостоятельно создавать алгоритмы деятельности при решении проблем творческого и поискового характера;

К: выражать свои мысли (с достаточной полнотой и точностью) в соответствии с задачами и условиями коммуникации; адекватно использовать речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции; вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем;обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений;

Р: составлять план последовательности действий; вносить необходимые дополнения и коррективы в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта;

осознавать самого себя как движущую силу своего научения, к преодолению препятствий и самокоррекции;

осознавать уровень и качество усвоения результата;

проектировать маршрут преодоления затруднений в обучении через включение в новые виды деятельности;

5. Обобщение и систематизация знаний

Ф, И, Г

Решение заданий на вычисление производной.

Найдите производную функции. Запишите ключевое слово в ответе.

Тест по теме «Производная функции»

Тест написан, лист с ответами сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал тест без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, так и по физике, химии, географии, биологии, экономике и другим наукам.

Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике и физике.

Давайте вспомним основные направления применения производной.

Самостоятельная работа в группах

Работа в группах

Сегодня на нашем уроке работают 4 творческие группы, у каждой из них есть своя тема:

1-я группа – исследует геометрический смысл производной;

2-я группа – уравнение касательной к графику функции;

3-я группа – применение производной к исследованию функции;

4-я группа – исследует физический смысл производной.

А теперь наши исследователи работают над решением новых задач по своим (проблемам, направлениям) темам. (Карточки-задания на столах).

Защита выполненных заданий

Слово предоставляем исследователям. (Группы выступают по темам).

Задание 1-й группе:

1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Решение: ;. Ответ: .

2) Найдите , угла наклона касательной к графику функции в точке .

Решение: ;. Ответ:.

Задание 2-й группе:

1) Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение: Уравнение касательной .

Ответ: .

2) Напишите уравнение касательной к графику функции в точке графика с абсциссой .

Решение: Уравнение касательной .

Ответ: .

Задание 3-й группе:

1) Найдите критические точки функции .

Решение:

; ; ; ; .

Ответ: .

2) Докажите, что функция является возрастающей на всей области определения.

Решение: ;. Функция возрастает.

3) Докажите, что функция является убывающей на всей области определения.

Решение: ;. Функция убывает.

4) Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.

Задание 4-й группе:

1) Задача. Движение автомобиля во время торможения описывается формулой , ( – тормозной путь в метрах, – время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Решение: Т.к. скорость есть первая производная от перемещения по времени, то , т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда ; ; (сек). Тормозной путь (м).

Ответ: время торможения с, тормозной путь м.

2) Задача. Координата тела меняется по закону (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени секунды?

Решение:

; скорость ; ускорение .

; (м/с);

; (м/с²)

Ответ: м/с; м/с².

Участвовать в работе по решению примеров

Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь (работать в парах).

Оценивать правильность выполнения заданий.

Участвовать в обсуждении проблемных вопросов, формулировать собственное мнение и аргументировать его.

П:анализировать условия и требования задачи; выбирать обобщенные стратегии решения задачи; делать предположения об информации, которая нужная для решения предметной учебной задачи;

К: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, современных средств коммуникации

Р: осуществлять контроль деятельности («что сделано») и пощаговый контроль («как выполнена каждая операция, входящая в состав учебного действия»);

III. Рефлексивно-оценочный этап.

1.Итог урока

Ф

- Каким вопросам был посвящен урок?

- Чему научились на уроке? 

- Какие теоретические факты обобщались на уроке?

Анализирует свою деятельность и деятельность одноклассников с помощью средств, предложенных учителем.

К:умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

Л: способность к самооценке

Р: умениепроговаривать последовательность действий

6

2.Информация о домашнем задание

Ф, И

Повторить § 19 (основные определения). §21 прочитать, выучить определения. Выполнить упражнение № 208.

Осмысливает предложенное задание, формулирует и задает вопросы.

Р: целеполагание, контроль, оценка, коррекция.

Л: самоопределение

П: творческая переработка изученной темы.

осуществляет поиск и выделяет необходимую информацию.

3.Рефлексия

И

На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер.

- Имеют ли они отношение к теме нашего урока?

- Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? – Если – да, то как?

Перед вами карточки.

Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то выбираете карточку №1.

Если осталось что-то неясно, однако, вы научились вычислять производную, то выбираете карточку №3.

Если вам урок не понравился и вы для себя ничего нового не узнали, то выбираете карточку №2.

- Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока.

Я же довольна сегодняшним уроком, потому что организовала вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились

решать практические задания.

Прогнозирует свои учебные задачи на следующий урок.

Р: Оценка результатов деятельности, осознание качества и уровня усвоения материала.

П: Рефлексия способов и условий деятельности, контроль и оценка процесса и результата деятельности.

К: Аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества.

4. Оценка содержательного аспекта деятельности обучающихся на уроке (поощрение детей, выставление отметок за урок, и комментирование, замечания обучающимся).

Ф, И