«Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции»

Презентация на тему: " ЛЕКЦИЯ по дисциплине «Математика» на тему: «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции» для студентов I курса ________________________________________

1.Понятие производной . Правила дифференцирования. Производное от основных элементарных функций. 2 Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке, и пусть - некоторая точка этого промежутка. Пусть Δx - приращение к значению аргумента такое, что ( + Δx ) не выходит за пределы упомянутого промежутка, а Δy = f( + Δx)- f( ) соответствующее приращение функции.

Определение. Если существует , то этот предел называется производной от функции у = f(x) по переменной х в точке (обозначения: или ). Итак: = =

Если этот предел конечен, то производная называется конечной , если же этот предел бесконечен, то у' х- бесконечная производная . Если конечная производная существует в каждой точке некоторого множества, то она оказывается функцией от х , заданной на этом множестве.

Пример . Найдем производную у = на основании определения производной. Решение. Δy=(-= 2xΔx + Тогда: = Δx)=2х

Геометрический и физический смысл производной Физический смысл - производная функции отражает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если x = f(t) есть уравнение прямолинейного движения точки, то производная dx/dt представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени t.

Скорость (быстрота) протекания физических, химических, биологических процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной. Например, скорость охлаждения тела равна производной температуры тела по времени: Скорость химической реакции есть производная массы образующегося вещества по времени:. и т.д.

Геометрический смысл : Производная функции у = f(x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х (тангенс угла наклона касательной к оси 0X).

При этом если существует касательная, то существует и производная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси OY , отвечает конечная производная, параллельной оси OY – бесконечная производная.

Дифференцируемость функции в точке Определение: Если приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в форме Δy = AΔx + αΔx , где А не зависит от Δх и α – бесконечно малое в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в точке x.

Из последнего равенства следует, что А= - Перейдя к пределу при Δх 0, получим: А=) = - =

Итак, если y = f(x) дифференцируема в точке х, то приращение этой функции можно представить в виде где α – бесконечно малое в точке х. Отсюда следует, что если функция y = f(x) дифференцируема в точке х , то она обладает в этой точке конечной производной. Можно показать, что справедливо и обратное утверждение.

Связь дифференцируемости и непрерывности Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости): Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х , то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности не следует дифференцируемость. Рассмотрим две функции:

Эти функции непрерывны, но не имеют производной в точке x 0 : а) бесконечная производная; б) производной нет.

Правила дифференцирования: 1. Производная от постоянной величины равна нулю , т.е. если у=С , то у'= 0 Доказательство. По определению производной у'= Очевидно, что = 0, следовательно =0; у'= 0

2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых: (u + v + w +...)' = u ' + v ' + w ' +... Доказательство. Очевидно, Δ(u + v + w +...) = Δи + Δv + Δw +... Остается поделить обе части этого равенства на Δx, перейти к пределу при Δx 0 и воспользоваться тем, что предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых.

3. Производная произведения двух функций определяется формулой: = v + u 4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой: () =

Производные от основных элементарных функций

Как найти производную? Примеры решений Как найти производную, как взять производную?  На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом  Горячие формулы школьного курса математики .

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами. Собственно, сразу рассмотрим пример: Пример 1 Найти производную функции y= Решение: = =

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция y= , которая в результате решения превратилась в функцию =

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно  запомнить наизусть : правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно: производную константы: , где C – постоянное число; производную степенной функции: , в частности: , решения превратилась в функцию = =1, (=-

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций. В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной = , где C– постоянное число (константа) Пример 2 Найти производную функции У=3 Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Решаем: = Самое время использовать правило , выносим пастоянный множитель за знак производной: = =3 А теперь превращаем наш косинус по та блице: = =3=3(-

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок: = =3=3(-=-3 Готово.

Спасибо за внимание! Преподаватель информатики и математики. БГУ им. К. Карасаева. г.Бишкек, Кыргызская Республика