Тема урока: Свойства неопределённого интеграла.

Свойства неопределённого интеграла.

        Теперь не очень хорошая новость.

        В отличие от дифференцирования, общих стандартных правил интегрирования, справедливых на все случаи жизни, в математике нету. Это фантастика!

        Например, вы все прекрасно знаете (надеюсь!), что любое произведение любых двух функций f(x)·g(x) дифференцируется вот так:

(f(x)·g(x))’ = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x).

        Любое частное дифференцируется вот так:

        А любая сложная функция, какой бы накрученной она ни была, дифференцируется вот так:

        И какие бы функции ни скрывались под буквами f и g, общие правила всё равно сработают и производная, так или иначе, будет найдена.

        А вот с интегралами такой номер уже не пройдёт: для произведения, частного (дроби), а также сложной функции общих формул интегрирования не существует! Нету никаких стандартных правил! Вернее, они есть. Это я зря математику обидел.) Но, во-первых, их гораздо меньше, чем общих правил для дифференцирования. А во-вторых, большинство методов интегрирования, о которых мы будем разговаривать в следующих уроках, очень и очень специфические. И справедливы лишь для определённого, очень ограниченного класса функций. Скажем, только для дробно-рациональных функций. Или каких-то ещё.

        А какие-то интегралы, хоть и существуют в природе, но вообще никак не выражаются через элементарные "школьные" функции! Да-да, и таких интегралов полно! :)

        Именно поэтому интегрирование — гораздо более трудоёмкое и кропотливое занятие, чем дифференцирование. Но в этом есть и своя изюминка. Занятие это творческое и очень увлекательное.) И, если вы хорошо усвоите таблицу интегралов и освоите хотя бы два базовых приёма, о которых мы поговорим далее (замена переменной и интегрирование по частям), то интегрирование вам очень понравится. :)

        А теперь познакомимся, собственно, со свойствами неопределённого интеграла. Их всего ничего. Вот они.

        Первые два свойства полностью аналогичны таким же свойствам для производных и называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Тут всё просто и логично: интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов, а постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

        А вот следующие три свойства для нас принципиально новые. Разберём их поподробнее. Звучат по-русски они следующим образом.

        Третье свойство

        Производная от интеграла равна подынтегральной функции

        Всё просто, как в сказке. Если проинтегрировать функцию, а потом обратно найти производную от результата, то… получится исходная подынтегральная функция. :) Этим свойством всегда можно (и нужно) пользоваться для проверки окончательного результата интегрирования. Вычислили интеграл - продифференцируйте ответ! Получили подынтегральную функцию — ОК. Не получили — значит, где-то накосячили. Ищите ошибку.)

        Конечно же, в ответе могут получаться настолько зверские и громоздкие функции, что и обратно дифференцировать их неохота, да. Но лучше, по возможности, стараться себя проверять. Хотя бы в тех примерах, где это несложно.)

        Идём дальше, по порядочку.

        Четвёртое свойство

        Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению.

        Тут ничего особенного. Суть та же самая, только dx на конце появляется. Согласно предыдущему свойству и правилам раскрытия дифференциала.

        Пятое свойство

        Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

        Тоже очень простое свойство. Им мы тоже будем регулярно пользоваться в процессе решения интегралов. Особенно — в методе подведения функции под знак дифференциала и замены переменной.

        Вот такие вот полезные свойства. Занудствовать с их строгими доказательствами я здесь не собираюсь. Желающим предлагаю это сделать самостоятельно. Прямо по смыслу производной и дифференциала. Докажу лишь последнее, пятое свойство, ибо оно менее очевидно.

        Итак, у нас есть утверждение:

        Вытаскиваем "начинку" нашего интеграла и раскрываем, согласно определению дифференциала:

        На всякий случай, напоминаю, что, согласно нашим обозначениям производной и первообразной, F’(x) = f(x).

        Вставляем теперь наш результат обратно внутрь интеграла:

        Получено в точности определение неопределённого интеграла (да простит меня русский язык)! :)

        Вот и вс