Производные некоторых элементарных функций.

Производные некоторых элементарных функций.

Мы вводили понятие производной, как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. И, выводя формулу производной степенной функции, наверняка обратили внимание, что это, хотя и несложное, но громоздкое занятие. Но степенная функция, это ещё цветочки, по сравнению с функциями, с которыми зачастую приходится сталкиваться. Вычислять каждый раз производную по определению, как минимум. нерационально.

Производные элементарных функций выведены добрыми людьми уже давно, нам нет необходимости выводить их снова. Именно поэтому, составляем и запоминаем таблицу производных элементарных функций.

Приведём несколько примеров вычисления производных элементарных функций.

1. Найти производную функции:

а)

б)

в)

При необходимости, полученное выражение можно преобразовать, используя тригонометрические формулы. Этот же пример можно было решить другим способом: сначала преобразовать исходное выражение при помощи вынесения за скобки общего множителя: . Для многих в таком виде искать производную проще. Выбор за вами. Если у вас получится другой результат, не пугайтесь, а преобразуйте полученное выражение в одном или в другом случае, и убедитесь, что оно одинаково.

1. Найти значение производной функции в точке

.

.

1. Найти производную функции .

.

1. Найти производную функции:

1. Найти значение производной в точке :

1. Выяснить, при каких значениях значение производной функции равно нулю:

1. Решить неравенство для функции :

1. Найти значения , при которых значения производной функции положительны.

2. Найти значения , при которых значения производной функции отрицательны.

1. Найти производную сложной функции:

1. Найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет действительных корней, если:

1. При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки движения изменяется по закону ( – время движения в секундах). Найти скорость (в метрах в секунду) тела через 4 с после начала движения.

1. Укажите, при каких значениях функция имеет производную, и найдите эту производную, если:

1. Укажите, при каких значениях функция имеет производную, и найдите эту производную, если:

1. Вычислите значение производной функции в указанных точках и :

1. Для любого найдите производную функции:

3