Простые числа в новое время

Простые числа в новое время

Простое число́ — это натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

К 2005 году было найдено в общей сложности 42 простых числа Мерсенна . Самое большое из них – M_{25964951}, которое состоит из 7816230 десятичных цифр. Работы Эйлера оказали большое влияние на теорию чисел в целом и ни теорию простых чисел в частности. - Он обобщил малую теорему Ферма и ввел функцию Эйлера \varphi. Как уже говорилось выше, он разложил на множители пятое число Ферма 2^{32} + 1, обнаружил 60 пар дружественных чисел, определенных ранее, и предположил (но не смог доказать) то, что стало известно как квадратичный закон взаимности. - Он был первым, кто понял, что теория чисел может изучаться с помощью инструментов анализа, и, таким образом, положил начало аналитической теории чисел. Ему удалось показать, что не только так называемый гармонический ряд расходится, но и ряд

получающийся суммированием величин, обратных простым числам, также расходится. Сумма n членов гармонического ряда растет примерно как log(n), в то время как последний ряд расходится еще медленнее, как log [log (n)]. Это означает, например, что сложение обратных величин для всех приведенных простых чисел даже на самом мощном компьютере дает сумму только около 4, но сумма ряда стремится к

Простые числа

• Утверждение, что плотность простых чисел равна 1/log n известно как теорема о распределении простых чисел. Попытки доказать ее продолжалось на протяжении XIX-го века с заметным прогрессом, достигнутым Чебышевым и Риманом, который смог связать эту проблему с тем, что называется гипотезой Римана: до сих пор недоказанной результат о нулях в комплексной плоскости дзета-функции Римана. В конечном итоге утверждение доказали (используя мощные методы комплексного анализа) Адамар и Ла Валле Пуссен в 1896 году.

• Наибольшее известное простое число (найдено GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search] в августе 2008 года) было 45-м числом Мерсенна – M_{43112609}, которое состоит из 1209780189 десятичных цифр. Совсем недавно было обнаружено новое простое число Мерсенна (сентябрь 2008) M_{37156667}.
• Самые большие известные простые числа-близнецы – это 2003663613 * 21950001. Они состоят из 58711 цифр, и были объявлены Вотье, Мак-Киббоном и Грибенко в 2007 году.
• Наибольшее известное факториальное простое число (простое число вида n!1) – это 34790! – 1. Это число содержит 142891 цифр и было объявлено Маршалем, Кармоди и Куоса в 2002 году.
• Наибольший известный простой примориал (простое число вида n#1, где n\# – произведение всех простых чисел ) – это 392113\# + 1. Это число состоит из 169966 цифр и было объявлено Хоером (Heuer) в 2001 году.

Спасибо за внимание