Простые и составные числа. Делимость чисел

  Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа с.Краснояриха муниципального района Челно-Вершинский Самарской области

«Математика – царица наук, арифметика – царица математики»

К.Ф. Гаусс

Простые и составные числа. Делимость чисел

учитель математики

Марин Валентин Владимирович

Краснояриха 2017 г.

• Актуальность: не выполняя деление, можно установить делится ли одно натуральное число на другое; сокращается время решения примеров

• Цель: повторить и дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Содержание

• Простые и составные числа
• Таблица простых чисел до 997
• Теория делимости
• Признак делимости на 2
• Признак делимости на 3
• Признак делимости на 4
• Признак делимости на 5
• Признак делимости на 6
• Признак делимости на 7
• Признак делимости на 8
• Признак делимости на 9
• Признак делимости на 10
• Выводы

Простые и составные числа

• Натуральное число называют простым, если оно имеет  только два делителя: единицу и само это число.

Например:   3   делится без остатка на 1 и на 3;   5   делится без остатка на 1 и на 5;                   7   делится без остатка на 1 и на 7.

• Натуральное число называют составным, если оно имеет   более двух делителей.

Например: 

  4   делится без остатка на 1, на 2 и на 4;  

6   делится без остатка на 1, на 2, на 3 и на 6;  

8   делится без остатка на 1, на 2, на 4 и на 8;  

Число 1 имеет только один делитель: само это число (1). Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. 

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. 

Простое число так разложить на  множители нельзя.

Таблица простых чисел до 997

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97  101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181

191 193 197 199  211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293  307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397  401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499  503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599  601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691  701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797  809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887  907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Теория делимости

Дели́мость  — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. Общая теория делимости появилась в 399 году до н. э. и принадлежит Теэтету. Евклид посвятил ей книгу VII и часть книги IX «Начал». В основе теории лежит алгоритм Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения.

Признак делимости на 2

• Если последняя цифра натурального числа четная (0, 2,4,6,8), то оно делится на 2.

Примеры:

- 52 делится на 2. Последняя цифра 2 делится на 2 нацело (2 : 2 = 1).

- 300 делится на 2. Последняя цифра 0.

- 11 не делится на 2. Последняя цифра 1 не делится на 2.

Признак делимости на 3

• Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма его цифр.

Примеры:

- 153 делится на 3. Сумма всех его цифр: 1 + 5 + 3 = 9 делится на 3 (9 : 3 = 3).

- 300 делится на 3. Сумма всех его цифр: 3 + 0 + 0 = 3 делится на 3 (3 : 3 = 1).

- 11 не делится на 3. Сумма всех его цифр: 1 + 1 = 2 не делится на 3.

Признак делимости на 4

• Натуральное число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4. Примеры:

- 548 делится на 4. Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48 : 4 = 12).

- 600 делится на 4. Две последние цифры нули.

- 755 не делится на 4. Две последние цифры 55 не делятся на 4.

Признак делимости на 5

• Если последняя цифра натурального числа 5 или 0, то оно делится на 5.

Примеры:

- 155 делится на 5. Последняя цифра 5.

- 800 делится на 5. Последняя цифра 0.

- 61 не делится на 5. Последняя цифра 1.

Признак делимости на 6

• Натуральное число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

Примеры:

- 126 делится на 6. По признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2). По признаку делимости на 3 оно также делится на 3 (сумма цифр числа 1 + 2 + 6 = 9 делится на три). Это означает, что 126 делится на 6.

- 801 не делится на 6. По признаку делимости на 2, оно не делится на 2.

- 757 не делится на 6. По признаку делимости на 3, оно не делится на 3.

Признак делимости на 7

• Натуральное число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Пример:

- 154 делится на 7, так как на 7 делится 15 ·3+4=49 (49:7=7).

- 1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100 ·3+1=301, 30 ·3+1=91, 9 ·3+1=28 (28:7=4).

Признак делимости на 8

• Натуральное число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

- 1128 делится на 8. Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128 : 8 = 16).

- 7000 делится на 8. Три последние цифры нули.

- 6755 не делится на 8. Три последние цифры 755 не делятся на 8.

Признак делимости на 9

• Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда делится на 9 сумма его цифр.

Примеры:

- 486 делится на 9. Сумма всех его цифр: 4 + 8 + 6 = 18 делится на 9 (18 : 9 = 2).

- 9198 делится на 9. Сумма всех его цифр: 9 + 1 + 9 + 8 = 27 делится на 9 (27 : 9 = 3).

- 55 не делится на 9. Сумма всех его цифр: 5 + 5 = 10 не делится на 9.

Признак делимости на 10

• Если натуральное число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Примеры:

- 110 делится на 10. (110 : 10 = 11).

- 7000 делится на 10. (7000 : 10 = 700).

- 6755 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Выводы

Признаки делимости  — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ГИА и ЕГЭ.

Спасибо за внимание!