Приложение 8.
Прототипы заданий
Задание 1.
А) Найдите значение выражения 
Б) Найдите значение выражения 
В) Найдите значение выражения
.
Задание 2.
А) Какому из данных промежутков принадлежит число
?
1) [0,1; 0,2] | 2) [0,2; 0,3] | 3) [0,3; 0,4] | 4) [0,4; 0,5] |
Б) На координатной прямой отмечены числа
и
:

Какое из следующих утверждений неверно?
1) 
2) 
3) 
4) 
В) О числах
и
известно, что
. Какое из следующих неравенств неверно?
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание 3.
А) В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь
?
1) 
2) 
3) 
4) 
Б) Значение какого из выражений является числом рациональным?
1) 
2) 
3)
4)
В) Укажите наибольшее из следующих чисел.
1) 
2)
3)
4)
Задание 4.
А) Найдите корни уравнения .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Б) Решите уравнение .
Если корней несколько, запишите наименьший корень.
В) Решите уравнение .
Задание 5.
А) Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1)
2)
3)
4) 
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.
Б) На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
Коэффициенты
1) k b 0 | 2) k 0, b 0 | 3) k b | 4) k 0, b |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
В) Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1)
2)
3)
4) 
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.
Задание 6.
А) Арифметическая прогрессия
задана условиями: . Найдите 
Б) Дана арифметическая прогрессия Найдите
.
В) Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а . Найдите сумму первых шести её членов.
Задание 7.
А) Упростите выражение и найдите его значение при
В ответе запишите найденное значение.
Б) Упростите выражение и найдите его значение при
.
В ответ запишите полученное значение.
В) Упростите выражение и найдите его значение при .
Задание 8.
А) На каком рисунке изображено множество решений неравенства
Б) Решите неравенство .
1) 
2)
3)
4)
В) Решите систему неравенств
На каком из рисунков изображено множество её решений?
Задания по геометрии и реальной математике составляются аналогично.
Прототипы задания 21
1. Решите уравнение х(х2+2х+1)=2(х+1)
2. Решите уравнение (х+2)4 – 4(х+2)2 – 5=0
3. Сократите дробь 
4. Найдите значение выражения , 61а – 11в +50, если
=9
5. Решите уравнение х2 – 6х+
=
+7
6. Решите систему уравнений
7. Решите систему неравенств
Прототипы задания 22
1. Три бригады изготовили вместе 173 детали. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая и на 12 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.
2. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 4%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 2 кг высушенных фруктов?
3. Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 20%. Сколько сухих фруктов получится из 100 кг свежих фруктов?
4. Имеются два сосуда, содержащие 20 и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 41% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 43% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
5. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?
6. Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Турист прошёл путь из A в B за 5 часов, из которых спуск занял 4 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 1 км/ч?
Прототипы задания 23
1. Постройте график функции у = 1 –
и определите, при каких значениях m прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
2. Постройте график функции у =
и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно
две общие точки.
3. Найдите все значения k , при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции у = х2 + 4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
4. Постройте график функции y х2 4|x| 2x и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
Прототипы задания 24
1. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=14, DC=42,AC=52 .
2. Прямая, параллельная стороне AC треугольника АВC, пересекает стороны АВ и ВC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK׃KA=3׃4, KM=18.
3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника АВC, пересекает стороны АВ и ВC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, NC =32, AC=51 .
4. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведѐнную к гипотенузе.
5. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=10, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 и 5.
Прототипы задания 25
1. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD 10. Докажите, что треугольники и подобны.
2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
3. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.
4. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
5. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B , причём точки I и J лежат по одну стороны от прямой AB. Докажите, что AB перпендикулярна IJ.
6. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Прототипы задания 26
1. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
2. На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=10, MD=6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
3. Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
4. В треугольнике АВC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВC, если BC=12.