МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЦЕНТР ОБРАЗОВАНИЯ №34»
Рабочая программа
по геометрии (профильный уровень)
11 класс
Составитель: Шкляева О.А.
Рассмотрена
на заседании методического объединения
учителей математики и информатики
Протокол № ____ от ____________ 2016 г.
Принята
Решением педсовета МБОУ «ЦО №34»
Протокол № ____ от ____________ 2016 г.
Утверждена
Приказом № ____ от ____________ 2016 г.
Директор МБОУ «ЦО №34» ______________________________ Лазарева Л.В.
2016 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящая программа по геометрии для 11-х классов составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования (приказ МО и Н РФ от 05.03.2004г. № 1089), программы для общеобразовательных учреждений, 10 – 11 классы. Геометрия. Составитель Т.А. Бурмистрова /2-е изд. – М.: Просвещение, 2010 – 96 с.
Рабочая программа составлена с учетом следующего учебно-методического комплекта:
Геометрия, 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. / 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008– 255 с.:ил
Геометрия. Дидактические материалы. 11 класс: пособие для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Б.Г. Зив. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 128 с.: ил.
Количество часов по плану:
всего – 68 ч;
в неделю – 2 ч;
контрольные работы – 3 ч
зачеты – 4 ч
Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:
формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимание значимости математики для научно-технического прогресса.
Общая характеристика учебного предмета
Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точные названия блоков): арифметика; алгебра; геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей стране, учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаются и взаимодействуют в учебных курсах.
Геометрия — один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания обучающихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:
развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.
Формы промежуточной и итоговой аттестации: промежуточная аттестация проводится в форме тестов, контрольных, проверочных, самостоятельных работ, тематических зачетов.
Ведущими методами обучения предметов являются: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный и частично-поисковый. На уроках используются элементы следующих технологий: личностно-ориентированное обучение, технологии развивающего обучения, обучение с применением ИКТ.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАССА
Глава IV. Векторы в пространстве.
Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Компланарные векторы.
Цель: закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трем данным некомпланарным векторам.
Основные определения, относящиеся к действиям над векторами в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: компланарность векторов, правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов, разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Глава V. Метод координат в пространстве. Движения.
Координаты точки и координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Уравнение плоскости. Движения. Преобразование подобия.
Цель: сформировать умение учащихся применять векторно-координатный метод к решению задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями и расстояний между двумя точками, от точки до плоскости.
Данный раздел является непосредственным продолжением предыдущего. Вводится понятие прямоугольной системы координат в пространстве, даются определения координат точки и координат вектора, рассматриваются простейшие задачи в координатах. Затем вводится скалярное произведение векторов, кратко перечисляются его свойства (без доказательства, поскольку соответствующие доказательства были в курсе планиметрии) и выводятся формулы для вычисления углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Дан также вывод уравнения плоскости и формулы расстояния от точки до плоскости.
В конце раздела изучаются движения в пространстве: центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия. Кроме того, рассмотрено преобразование подобия.
Глава VI. Цилиндр, конус, шар.
Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь сферы.
Цель: дать учащимся систематические сведения об основных телах и поверхностях вращения – цилиндре, конусе, сфере, шаре.
Изучение круглых тел (цилиндра, конуса, шара) и их поверхностей завершает знакомство учащихся с основными пространственными фигурами. Вводятся понятия цилиндрической и конической поверхностей, цилиндра, конуса, усеченного конуса. С помощью разверток определяются площади их боковых поверхностей, вводятся соответствующие формулы. Затем даются определения сферы и шара, выводится уравнение сферы и с его помощью исследуется вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости. Площадь сферы определяется как предел последовательности площадей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. В задачах рассматриваются различные комбинации круглых тел и многогранников, в частности описанные и вписанные призмы и пирамиды.
В данном разделе изложены также вопросы о взаимном расположении сферы и прямой, о сечениях цилиндрической и конической поверхностей различными плоскостями.
Глава VII. Объемы тел.
Объем прямоугольного параллелепипеда. Объемы прямой призмы и цилиндра. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Объем шара и площадь сферы. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.
Цель: ввести понятие объема тела и вывести формулы для вычисления объемов основных многогранников и круглых тел, изученных в курсе стереометрии.
Понятие тела вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Формируются основные свойства объемов и на их основе выводится формула объема прямоугольного параллелепипеда, а затем прямой призмы и цилиндра. Формулы объемов других тел выводятся с помощью интегральной формулы. Формула объема шара используется для вывода площади сферы.
Обобщающее повторение.
Цель: повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и навыков за курс геометрии 10 – 11 класса.
В результате изучения курса геометрии в 11 классе на базовом уровне обучающиеся должны:
знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;
идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;
значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;
возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
различие требований, предъявляемых к доказательствах в математике, естественных, социально-экономических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;
вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.
уметь
соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур;
изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;
решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отноений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;
вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;
применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;
строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения.
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
ПРОГРАММНОЕ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
Класс | Количество часов в неделю согласно Учебному плану школы | Реквизиты программы | УМК обучающихся | УМК учителя |
Федерал. компонент | Регион. компонент | Школьн. компонент |
11 | 1 | - | 1 | Геометрия. Программы для общеобразовательных учреждений, 10 – 11 классы. Составитель Т.А. Бурмистрова /2-е изд. – М.: Просвещение, 2010 – 96 с. | - Геометрия, 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровени / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. / 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008– 255 с.:ил | - Геометрия, 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровени / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. / 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008– 255 с.:ил - Геометрия. Дидактические материалы. 11 класс: пособие для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Б.Г. Зив. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 128 с.: ил. |
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЦЕНТР ОБРАЗОВАНИЯ №34»
УТВЕРЖДАЮ
Директор МБОУ «ЦО №34»
_____________/ Лазарева Л.В.
«____» ______________ 2016 г.
Календарно-тематическое планирование
по геометрии (профильный уровень)
11 класс
(68 часов, 2 часа в неделю)
2016 – 2017 учебный год
Учитель: Шкляева О.А.
Рассмотрена
на заседании методического объединения
учителей математики и информатики
Протокол № ____ от ____________ 2016 г.
2016 г.
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАССА (профильный уровень)
№ | Содержание учебного материала | Домашнее задание | Планиру-емая дата проведения урока |
Повторение. Избранные вопросы стереометрии 10 класса (5 ч) |
1 | Повторение. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Решение задач. | | |
2 | Повторение. Пирамида. Решение задач. | | |
3 | Повторение. Куб. Прямоугольный параллелепипед. Решение задач. | | |
4 | Повторение. Прямая призма. Решение задач. | | |
5 | Проверочная работа по итогам повторения. | | |
Глава IV. Векторы в пространстве (6 ч) |
6 | Понятие вектора в пространстве. Равенство векторов. Решение задач. | | |
7 | Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Решение задач. | | |
8 | Умножение вектора на число. Решение задач. | | |
9 | Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. | | |
10 | Решение задач на разложение вектора по трем некомпланарным векторам. | | |
11 | Зачет №1 по теме «Векторы в пространстве». | | |
Глава V. Метод координат в пространстве (15 ч) |
12 | Прямоугольная система координат в пространстве. Решение задач. | | |
13 | Координаты вектора. Решение задач. С – 1. | | |
14 | Связь между координатами векторов и координатами точек. Решение задач. | | |
15 | Простейшие задачи в координатах. | | |
16 | Решение задач с применением опорных формул. С – 2. | | |
17 | Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. | | |
18 | Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов. С – 3. | | |
19 | Вычисление углов между прямыми и плоскостями. | | |
20 | Решение задач. С – 4. | | |
21 | Уравнение плоскости. Решение задач. | | |
22 | Решение задач по материалам ЕГЭ с помощью метода координат. | ДС | |
23 | Центральная симметрия. Осевая симметрия. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос. | | |
24 | Преобразование подобия. Решение задач по теме «Движения». | С – 5,6 | |
25 | Зачет №2 по теме «Метод координат в пространстве». | | |
26 | Контрольная работа №1 по теме «Метод координат в пространстве». | | |
Глава VI. Цилиндр, конус, шар (16 ч) |
27 | Анализ контрольной работы. Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. | | |
28 | Комбинации цилиндра с многогранниками. Решение задач. | | |
29 | Решение задач на тему «Цилиндр». С – 7. | | |
30 | Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Решение задач. | | |
31 | Усеченный конус. Решение задач. | | |
32 | Решение задач на тему «Конус». С – 8. | | |
33 | Площадь поверхности тела вращения. Комбинации конуса с многогранниками. | С – 9 | |
34 | Сфера и шар. Уравнение сферы. Решение задач. | | |
35 | Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Решение задач. | | |
36 | Решение задач на взаимное расположение сферы и плоскости. | | |
37 | Решение задач. С – 10. | | |
38 | Площадь сферы. Решение задач. | | |
39 | Решение задач на вычисление площади сферы. С – 11. | | |
40 | Комбинации сферы с другими геометрическими телами. | С – 12 | |
41 | Зачет №3 по теме «Цилиндр, конус, шар». | | |
42 | Контрольная работа № 2 по теме «Цилиндр, конус, шар». | | |
Глава VII. Объемы тел (17 ч) |
43 | Анализ контрольной работы. Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. | | |
44 | Решение задач на вычисление объема прямоугольного параллелепипеда. | | |
45 | Решение задач. С – 13. | | |
46 | Объем прямой призмы и цилиндра. Решение задач. | | |
47 | Решение задач. С – 14. | | |
48 | Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Объем наклонной призмы. | | |
49 | Решение задач на вычисление объема наклонной призмы. | С – 15 | |
50 | Объем пирамиды. Решение задач. | С – 16 | |
51 | Объем конуса. Решение задач. | С – 17 | |
52 | Объем усеченной пирамиды. Объем усеченного конуса. | С – 18 | |
53 | Объем шара. Решение задач. | | |
54 | Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. Решение задач. | | |
55 | Площадь сферы. Решение задач. | С – 19 | |
56 | Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар. | | |
57 | Решение задач по теме «Объемы тел». | | |
58 | Зачет №4 по теме «Объемы тел». | | |
59 | Контрольная работа №3 по теме «Объемы тел». | | |
Заключительное повторение при подготовке к итоговой аттестации по геометрии (9 ч) |
60 | Анализ контрольной работы. Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (№ 8, №13 – базовый уровень). | | |
61 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (№15, №16 – базовый уровень). | | |
62 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (базовый уровень). Проверочная работа. | | |
63 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (№4, №7 – профильный уровень). | | |
64 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (№9, №12 – профильный уровень). | | |
65 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (профильный уровень). Проверочная работа. | | |
66 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (№16 – профильный уровень). | | |
67 | Решение типовых тестовых заданий ЕГЭ (№18 – профильный уровень). | | |
68 | Подготовка к ЕГЭ. Решение тестовых заданий. | | |
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа №1. Вариант №1. Вычислите скалярное произведение векторов m и n, если m = a + 2b – c, n = 2a – b, |a| = 2, |b| = 3, (ab) = 60°, c ┴ a, c ┴ b. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где М – середина ребра DD1. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α – на плоскость α1. Докажите, что если а || α, то а1 || α1. | Контрольная работа №1. Вариант №2. Вычислите скалярное произведение векторов m и n, если m = 2a – b + c, n = a – 2b, |a| = 3, |b| = 2, (ab) = 60°, c ┴ a, c ┴ b. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AС и DC1. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α – на плоскость α1. Докажите, что если а ┴ α, то а1 ┴ α1. |
Контрольная работа №2. Вариант 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°; б) площадь боковой поверхности конуса. Диаметр шара равен 2m. Через концы диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью. | Контрольная работа №2. Вариант 2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°; б) площадь боковой поверхности конуса. Диаметр шара равен 4m. Через концы диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью. |
Контрольная работа №3. Вариант 1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара. Объем цилиндра равен 96π см3, площадь его осевого сечения – 48 см2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра. | Контрольная работа №3. Вариант 2. В конусе, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади поверхности конуса. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов шара и цилиндра. |
ЗАЧЕТЫ
Зачет №1 по теме «Векторы в пространстве»
Билет 1. Сформулируйте определение вектора, его длины, коллинеарности двух ненулевых векторов, равенства векторов. Проиллюстрируйте их, используя изображения параллелепипеда. Изобразите тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки M, N, P и Q – середины сторон AB, AD, DC, ВC. Выпишите все пары равных векторов, изображенных на рисунке. Определите вид четырехугольника MNPQ. Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что MQ + M1Q1 = N1P1 + NP. | Билет 4. Расскажите о правиле параллелограмма сложения двух векторов. Проиллюстрируйте его на рисунке. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что АА1 + В1С – х = ВА. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы OD и OM по векторам а = ОА, b = ОВ, с = ОС. |
Билет 2. Расскажите о правиле треугольника сложения двух векторов. Сформулируйте определение противоположных векторов. Разность двух векторов. Проиллюстрируйте эти правила на рисунке. Упростите выражение: AB + MN + BC + CA + PQ + NM. Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что PQ + NP1 = NQ1. | Билет 5. Сформулируйте определение вектора а на число k, сочетательный, первый и второй распределительные законы умножения вектора на число. Проиллюстрируйте их на примерах. Изобразите правильный октаэдр ABCDEF. Докажите, что АВ + FB = DB. Точки А1, В1, С1 – середины сторон ВС, АС, АВ треугольника АВС, точка О – произвольная точка пространства. Докажите, что ОА1 + ОВ1 + ОС1 = ОА + ОВ + ОС. |
Билет 3. Расскажите о правиле многоугольника нескольких векторов. Проиллюстрируйте его на рисунке. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что АС1 – ВВ1 + х = АВ. Точка К – середина ребра В1С1 куба АВСDА1В1С1D1. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = AD, c = AA1 и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m. | Билет 6. Сформулируйте определение компланарных векторов. Приведите примеры компланарных и некомпланарных векторов, используя изображение параллелепипеда. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите сумму векторов АВ + В1С1 + DD1 + CD. В тетраэдре ABCD точка К – середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = AС, c = AD. |
Зачет №2 по теме «Метод координат в пространстве»
Билет 1. Расскажите, как задаётся прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора. Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин. Дан куб ABCDA1B1C1D1, точка М – центр грани AA1D1D. Вычислите угол между векторами BM и B1C. | Билет 4. Сформулируйте свойство скалярного произведения векторов. Докажите некоторые из этих свойств. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A(-6;-4;0) B(6;-6;2) C(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD. |
Билет 2. Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов. Вычислите угол между прямыми AB CD, если A(1;1;0), B(3;1;0), C(4;-1;2), D(0;1;0). | Билет 5. Докажите, что центральная и осевая симметрии являются движениями. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами. Даны векторы a{1;-2;-1}, b{-3;1;4}, c{3;4;-2}, d{2;-1;3}. Вычислить (a + 2b)(c-d). |
Билет 3. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя скалярное произведение. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Даны точки A(0;4;0) B(2;0;0) C(4;0;4) D (2;4;4). Докажите, что ABCD - ромб. | Билет 6. Докажите, что зеркальная симметрия и параллельный перенос являются движениями. Расскажите, как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих этих прямых. Даны координаты вершин тетраэдра MABC: M(2;5;7) A(1;-3;2) B(2;3;7) C(3;6;0). Найти расстояние от точки M до точки О пересечения медиан треугольника ABC. |
Зачет №3 по теме «Цилиндр, конус, шар»
Билет 1. Сформулируйте определение цилиндра, его элементов (основания, ось, образующая, боковая поверхность, высота, радиус основания). Осевое сечение цилиндра и сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям. Площадь поверхности цилиндра (с объяснением). Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 120. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 7 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 2 см. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно a Найдите площадь осевого сечения вписанного цилиндра. | Билет 4. Сформулируйте определение сферы и шара, его элементов (центр, радиус, диаметр). Сечения шара. Уравнение сферы. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра (диаметр равен образующей) равна 16 см2. Найдите боковую поверхность вписанной в цилиндр правильной шестиугольной призмы. |
Билет 2. Сформулируйте определение конуса, его элементов (основание, образующая, ось, боковая поверхность, высота, радиус основания). Осевое сечение конуса и сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Площадь поверхности конуса (с выводом). Высота конуса равна 10 см, угол между высотой и образующей конуса равен 45. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проведенной через две образующие, угол между которыми 30. Радиус шара равен 12 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 45 к нему. Найдите площадь сечения. | Билет 5. Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере. Докажите свойство касательной плоскости. Ребро куба равно a. Найдите площадь осевого сечения описанного цилиндра. Образующая конуса равна 13 см. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите высоту пирамиды. |
Билет 3. Сформулируйте определение усеченного конуса, его элементов (основания, образующая, ось, боковая поверхность, высота, радиус основания). Осевое сечение усеченного конуса и сечение усеченного конуса плоскостью, параллельной основаниям. Площадь поверхности усеченного конуса. Радиусы оснований усеченного конуса 6 и 2 см, образующая наклонена к основанию под углом 60. Найдите высоту и образующую конуса. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 8 см. Найдите площадь его основания. | Билет 6. Сформулируйте определение сферы и шара, его элементов (центр, радиус, диаметр). Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. Радиус шара равен R. Найдите площадь диагонального сечения вписанного куба. Образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите боковую поверхность вписанной в конус правильной треугольной пирамиды. |
Зачет №4 по теме «Объемы тел»
1 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами 6,7 см и 8 см, угол между этими сторонами равен 300, а высота призмы равна 10 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (рис.3). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 36. 5. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 22 раза? 6. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 5, а основание — прямоугольник со сторонами 7 и 6. 7. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 18 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 9. Найдите площадь поверхности шара. | 2 вариант Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см, а высота призмы равна 9 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 27. Найдите объем цилиндра. 5. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 9 раз? 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9, боковое ребро равно 11. Найдите ее объем. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 5300 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 29 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 50. Найдите площадь поверхности шара. |
3 вариант Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит трапеция с основаниями 6,8 см и 4,12 см и высотой 7 см, а высота призмы равна 5 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (рис. 3). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 27. 5. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз? 6. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 3. 7. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 25 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 39. Найдите площадь поверхности шара. | 4 вариант Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит треугольник, две стороны которого равны 9 см и 7 см и угол между ними равен 450, а высота призмы равна 12см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 64. Найдите объем цилиндра. 5. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 26 раз? 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 9. Найдите ее объем. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2900 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 35 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 8. Найдите площадь поверхности шара. |
5 вариант Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 Рис.3 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм, одна из сторон которого равна 5,6 см, а высота, проведенная к этой стороне равна 3,4 см, если известно, что высота этой призмы равна 15 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (рис. 3). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 15. 5. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6,5 раза? 6. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 8 и 8. 7. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 25 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 4. Найдите площадь поверхности шара. | 6 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см, если высота призмы равна 20 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 21. Найдите объем цилиндра. 5. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в четыре раза? 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, боковое ребро равно 16. Найдите ее объем. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 5700 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 37. Найдите площадь поверхности шара. |
7 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами 7 см и 9 см, угол между этими сторонами равен 600, а высота призмы равна 12 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (рис.3). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 87. 5. Во сколько раз уменьшится объем шара, если его радиус уменьшить в 7 раз? 6. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 2 и 6. 7. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 18. Найдите площадь поверхности шара. | 8 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3 см, а высота призмы равна 8 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 14. Найдите объем цилиндра. 5. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз? 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2200 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 35. Найдите площадь поверхности шара. |
9 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит трапеция с основаниями 7,16 см и 5,04 см и высотой 5 см, а высота призмы равна 10 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (рис. 3). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 81. Рис. 3 5.Во сколько раз уменьшится объем цилиндра, если его радиус уменьшить в 5 раз? 6. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 5, а основание — прямоугольник со сторонами 6 и 5. 7. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 11. Найдите площадь поверхности шара.
| 10 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит треугольник, две стороны которого равны 9,5 см и 14 см и угол между ними равен 300, а высота призмы равна 4,6см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 2. В ответе укажите. 4. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 53. Найдите объем цилиндра. 5.Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 10 раз? 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7, боковое ребро равно 11. Найдите ее объем. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 4300 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 29 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 42. Найдите площадь поверхности шара. |
11 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 1 (все двугранные углы прямые). Рис.1 Рис. 2 Рис. 3 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм, одна из сторон которого равна 9,04 см, а высота, проведенная к этой стороне равна 6,5 см, если известно, что высота этой призмы равна 11 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 75. 5.Во сколько раз увеличится объем цилиндра, если его радиус увеличить в 4 раза? 6. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 3, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 4. 7. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 8 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 38. Найдите площадь поверхности шара. | 12 вариант 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Рис. 1 Рис. 2 2. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 7 см и 3 см, если высота призмы равна 7 см. 3. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. 4. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 12. Найдите объем цилиндра. 5.Во сколько раз уменьшится объем цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза? 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8, боковое ребро равно 14. Найдите ее объем. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 4000 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 26 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в . 8. Площадь большого круга шара равна 40. Найдите площадь поверхности шара. |