Рабочая тетрадь по теме "Действия с функциями"

Рабочая тетрадь по теме

«Действия с функциями»

(задание 9 профильной математики)

И базовый, и профильный ЕГЭ по математике в 2022 году перетерпел существенные изменения.

Из профильного экзамена по математике убрали ряд заданий базового уровня сложности, с которыми все участники легко справлялись. Вместо них в профильном ЕГЭ появились более сложные задачи, «позволяющие лучше дифференцировать выпускников по уровню подготовки». «Участникам ЕГЭ в 2022 году больше не встретятся практическая задача на делимость, практическая задача на график реальной зависимости и задание базового уровня по геометрии. При этом в КИМ добавлены два новых задания (алгебраическое задание с использованием графика функции и задание по теории вероятности повышенного уровня сложности). Также были скорректированы система оценивания и критерии проверки двух заданий с развернутым ответом», — сообщили в Рособрнадзоре.

Особенная сложность возникла у детей при решении задания 9, проверяющее умение выполнять действия с функциями. Здесь нужно выполнить алгебраическое задание с использованием графика линейной функции, обратной пропорциональности, кусочно-линейных, квадратичных, тригонометрических, показательных и логарифмических функций.

И чтобы хорошо выполнить эти задания, самое реальное средство – это практика, решение достаточно большего количества заданий. Данное пособие дает возможность отработать некоторые функции по отдельности. Для проверки уровня усвоенного материала в конце каждого раздела даны задания для самостоятельного выполнения и ответы к ним для самопроверки.

Пособие можно использовать в качестве дополнительного материала на уроках, в качестве домашней работы, а также для самостоятельной работы дома.

Содержание рабочей тетради:

1. Теоретический материал по данной теме

2. Задания на отработку по видам функий

3. Задания для самостоятельного решения

4. Ответы для самопроверки.

Линейная функция

Функция вида f(x) = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямая. Число к - угловой коэффициент между прямой и и положительным направлением оси абсцисс и k = tgα. Если угол α острый, то к 0. Если угол α тупой – к cло b – точка пересечения прямой с осью ординат.

Рассмотрим задания:

1)

Р ешение: Чтобы решить задачу, нужно по графику найти значения к и b.

1. .

2. Точка А имеет координаты (3; 4). Подставив эти значения в функцию, найдем число b.

,

5,25 + b = 4,

b = 4 – 5,25, → b = - 1,25

Таким образом, функция имеет вид f(x) = 1,75х - 1,25. По условию,

f(x) = - 13,5. Решим уравнение

– 13,5 = 1,75х – 1,25 → 1,75х = - 13,5 + 1,25 → 1,75х = - 12,25 → х = - 7. Ответ: -7.

2)

Решение: Напишем уравнения этих прямых.

1. У прямой АВ угловой коэффициент равен к = tgα = 1,5. Зная координаты точки А (-2;4), найдем значение b.

1,5 ·(-2) + b = 4 → b = 7. Таким образом, уравнение прямой АВ имеет вид у = 1,5х + 7

1. У прямой СЕ угловой коэффициент равен к = tgβ = 1. Зная координаты точки Е (1;2), найдем значение b.

1 · 1 + b = 2 → b = 1. Таким образом, уравнение прямой СЕ имеет вид у = х + 1

1. Осталось решить уравнение 1,5х + 7 = х + 1 → 0,5х = - 6 → х = - 12. Ответ: - 12

Задания для самопроверки

1)

О твет: 4

2)

О твет: - 10

3)

Ответ: 13

Обратная пропорциональность

1.

2. Смещаем график вправо, если а – положительной число, и влево, если а – отрицательное число.

3. Сдвигаем график вверх, если в – положительное число, и вниз, если в – отрицательное число.

Рассмотрим задания:

1)

Решение: по рисунку видим сдвиг горизонтальной асимптоты на 1 единичный отрезок вверх. Следовательно, а = 1. Отмеченная точка на рисунке имеет координаты (3;2). Подставив эти значения в функцию, найдем а:

→ к = 3. Таким образом, функция имеет вид

. Осталось найти f(-12) = . Ответ: 0,75

2 )

Решение: По рисунку видим сдвиг горизонтальной асимптоты на 2 единичных отрезка вверх. Следовательно, с = 2. Сдвиг вертикальной асимптоты на 3 единичных отрезка вправо. Следовательно, в = -3. Отмеченная точка на рисунке имеет координаты (2;1). Подставив эти значения в функцию, найдем а:

→ → a = 1. Таким образом, функция принимает вид . Осталось найти

f(13) = . Ответ: 2,1.

3)

4 )

Задания для самопроверки

1)

Ответ: - 0,75

2)

Ответ: 1,25

3)

Ответ: - 1

4)

Ответы: - 3

5)

Ответ: - 5

6)

Ответ: 15.

Тригонометрические функции

Рассмотрим задания:

1)

Решение:

Пусть а = - 2, f(0) = 1, тогда

-2cosc – 1 = 1, → -2cosc = 2, → cosc = -1, → c = π + 2πk, с – не целое решение

Пусть а = 2, f(0) = 1, тогда

2cosc – 1 = 1, → 2cosc = 2, → cosc = 1, → c = 0 + 2πk, с – целое решение. Следовательно а = 2, d = -1

У функции y = cosx наименьший положительный период Т_наим = 2π, тогда функция вида аf(kx + b) имеет период . Значит, →

→ → b = ± 1.

Таким образом, функция принимает вид f(x) = 2cos(πx) – 1 = 2cos(-πx) – 1 . Осталось вычислить .

. Ответ: -2

Задания для самопроверки

1)

Ответ: 2

2)

Ответ: -4

3)

Ответ: -1,5

Кусочно – линейные функции

1)

Решение: Преобразуем функцию, раскрывая модуль:

Ответ: 2,5

Задания для самопроверки

1)

Ответ: 2

2)

О твет: -2

3)

Ответ: 2,5