Расстояние между двумя прямыми.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Расстоянием между двумя скре щи вающи мися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.

Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.

Если две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между этими прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Куб 1

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 2

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и CD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 3

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и B 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 4

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и C 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 5

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 6

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и B 1 C .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 7

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и CD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 8

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и DC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 9

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и CC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

10

Куб 1 0

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть O – середина BD . Искомым р асстоянием является длина отрезка AO . Она равна

Ответ:

Куб 1 1

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и B 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

12

Куб 1 2

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины AA 1 , BD 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка PQ . Она равна

Ответ:

Куб 1 3

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

14

Куб 1 4

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние прямыми AB 1 и CD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 1 5

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение. Искомое р асстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1 . Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Куб 1 6

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и A 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение аналогично предыдущему.

Ответ:

17

Куб 1 7

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение аналогично предыдущему.

Ответ:

18

Куб 18

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние прямыми AB 1 и BD 1 .

Решение. Диагональ BD 1 перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ACB 1 и пересекает его в центре P вписанной в него окружности. Искомое расстояние равно радиусу OP этой окружности.

OP =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 1

В единичном тетраэдре ABCD н айдите расстояние между прямыми AD и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF , где E , F – середины ребер AD , BC . В треугольнике ADF AD = 1,

AF = DF = Следовательно, EF =

Ответ:

Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми AB и CD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SAO

имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH =

Ответ:

Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC .

Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD . Оно равно высоте EH треугольника SEF , где E , F – середины ребер BC , AD . В треугольнике SEF имеем:

EF = 1, SE = SF = Высота SO равна

Следовательно, EH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 5

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми AB и DE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

24

Пирамида 6

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Продолжим ребра BC и AF до пересечения в точке G . Общим перпендикуляром к SA и BC будет высота AH треугольника ABG . Она равна

Ответ:

Пирамида 7

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BF .

Решение: Искомым расстоянием является высота GH треугольника SAG , где G – точка пересечения BF и AD . В треугольнике SAG имеем:

SA = 2 , AG = 0,5 , высота SO равна

Отсюда находим GH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 8

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние между прямыми SA и CE .

Решение: Искомым расстоянием является высота GH треугольника SAG , где G – точка пересечения CE и AD . В треугольнике SAG имеем:

SA = 2, AG = , высота SO равна

Отсюда находим GH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 9

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD .

Решение: Прямая BD параллельна плоскости SAE . Искомое расстояние равно расстоянию между прямой BD и этой плоскостью и равно высоте PH треугольника SPQ . В этом треугольнике высота SO равна ,

PQ = 1 , SP = SQ =

Отсюда находим PH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 10

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BG , где G – середина ребра SC .

Решение: Через точку G проведем прямую, параллельную SA . Обозначим Q точку ее пересечения с прямой AC . Искомое расстояние равно высоте QH прямоугольного треугольника ASQ , в котором

AS = 2 , AQ = , SQ = .

Отсюда находим

QH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: BC и B 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

31

Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Ответ:

Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C 1 .

Ответ: 1 .

Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C . Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1 . В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием.

Имеем, DD 1 = 1, CD = , CD 1 = .

Следовательно, DE =

Ответ:

Призма 6

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BC 1 .

Решение: Достроим призму до 4-х угольной призмы. Искомое расстояние будет равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1 . Оно равно высоте OH прямоугольного треугольника AOO 1 , в котором

Эта высота равна

Ответ.

Призма 7

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 B 1 .

Ответ: 1 .

Призма 8

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и B 1 C 1 .

Ответ: 1 .

Призма 9

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1 .

Ответ: 1 .

Призма 10

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и DE .

Ответ: .

Призма 11

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и D 1 E 1 .

Ответ: 2 .

Призма 12

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CC 1 .

Ответ: .

Призма 13

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и DD 1 .

Ответ: 2 .

Призма 14

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 .

Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна .

Ответ: .

Призма 15

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина равна .

Ответ: .

Призма 16

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Оно равно .

Ответ: .

Призма 17

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна .

Ответ: .

Призма 18

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и DE 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 E 1 . Его длина равна .

Ответ: .

Призма 19

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BD 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AB . Его длина равна 1 .

Ответ: 1.

Призма 20

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно .

Ответ: .

Призма 21

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью BEE 1 . Оно равно .

Ответ: .

Призма 22

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CF 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CFF 1 . Оно равно .

Ответ: .

Призма 23

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми: AB 1 и DE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ABB 1 и DEE 1 . Расстояние между ними равно .

Ответ: .

Призма 24

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми: AB 1 и CF 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AB 1 и плоскостью CFF 1 . Оно равно .

Ответ:

Призма 25

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BC 1 .

Решение: Пусть O , O 1 –центры граней призмы. Плоскости AB 1 O 1 и BC 1 O параллельны. Плоскость ACC 1 A 1 перпендикулярна этим плоскостям. Искомое расстояние d равно расстоянию между прямыми AG 1 и GC 1 . В параллелограмме

AGC 1 G 1 имеем AG = ; AG 1 = .

Высота, проведенная к стороне AA 1 равна 1. Следовательно ,

d = .

Ответ:

Призма 26

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BD 1 .

Решение: Рассмотрим плоскость A 1 B 1 HG , перпендикулярную BD 1 . Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую BD 1 в точку H , а прямую AB 1 – в прямую GB 1 . Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию от точки H до прямой GB 1 . В прямоугольном треугольнике GHB 1 имеем GH = 1;

B 1 H = . Следовательно, d = .

Ответ:

Призма 27

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BE 1 .

Решение: Рассмотрим плоскость A 1 BDE 1 , перпендикулярную AB 1 . Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую AB 1 в точку G , а прямую BE 1 оставляет на месте . Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию GH от точки G до прямой BE 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 BE 1 имеем A 1 B = ; A 1 E 1 = .

Следовательно, d = .

Ответ: