Рациональные и иррациональные уравнения

Рациональные уравнения

Перед тем, как приступить к изучению рациональных уравнений, хотелось бы напомнить, что такое рациональные выражения, а также формулы, позволяющие раскладывать многочлены на множители. Именно разложение на множители рациональных выражений чаще всего позволяет облегчить задачу нахождения корней уравнения.

Рациональное выражение состоит из слагаемых, которые можно представить в виде конечной обыкновенной или десятичной дроби.

Для решения уравнений, состоящих из рациональных выражений, их необходимо упростить, разложив на множители, или привести к известному виду.

Все уравнения, которые не содержат корней или других иррациональных выражений, называются рациональными. Например, уравнение вида:

2(х + 6) = х,

2(х + 6) = х²,

2(х + 6) = 1/х.

Рациональные уравнения делятся на целые рациональные и дробные.

Целые рациональные уравнения содержат выражения, которые не имеют корней в знаменателе.

Если же переменная содержится в знаменателе, то такое уравнение называется дробным.

Целое рациональное уравнение:

Областью допустимых значений для такого уравнения будут считаться все значения из действительного множества чисел.

Дробное рациональное уравнение:

При решении такого уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может быть равен нулю.

Способы решения уравнений

1. Если вы смогли разложить уравнение на множители, которые равны нулю, то Вы имеете право каждый множитель приравнять нулю, после чего следует найти корни в каждой скобке.

2. Замена переменной. Если уравнение содержит несколько повторяющихся одинаковых объемных или неудобных выражений, то их можно заменить одной переменной, имеющей другое название. После этого уравнение решается с новой переменной, после чего её значение подставляется под замену.

Например, если уравнение содержит иррациональные выражения, то можно привести к рациональному виду с помощью замены:

Иррациональные уравнения - это уравнения, которые содержат иррациональные выражения.

В школьном курсе математики рассматриваются рациональные уравнения, которые содержат корни различных степеней.

Решение иррациональных уравнений сводиться к рациональным. Более того, хочется сказать, что все уравнения сводятся к элементарным с помощью различного рода преобразований или хитростей.

Во время решения иррациональных уравнений важно помнить:

1. Выражения, стоящие под корнем четной степени, никогда не могут получиться отрицательными. Поэтому некоторые уравнения можно даже не решать. Например:

В данном уравнении нет смысла, при любых значениях переменной, равенство верным быть не может, поскольку правая часть уравнения не может быть отрицательной.

2. Первым делом при решении уравнений, которые имеют корни четной степени, необходимо определить ОДЗ. Область определения - это диапазон, в который могут входить корни уравнения. Если корни в него не входят, то они не удовлетворяют условию, и считаются посторонними.

3. Чтобы быть уверенными, что корни найдены правильно, необходимо совершить проверку, подставив их в исходное уравнение.

Способы решения уравнений, содержащих иррациональность:

1. Возведение правой и левой части уравнения в степень корня. Этот способ позволяет избавиться от иррациональности. Но прежде, чем откинуть корень, проверьте ОДЗ.

2. Если в одной из частей уравнения находится сумма или разность корней, то оптимальным вариантом является изолирование их с помощью знака равно. После этого пользуемся предыдущим правилом до тех пор, пока не избавимся от иррациональности.

3. Если Вы имеете уравнение вида:

То для его решения необходимо найти наименьшее общее кратное степеней корня и возвести обе части уравнения в эту степень. Таким образом, Вы избавитесь от иррациональности.