Равносильность уравнений

Два уравнения с одной переменной f (х) = g (х) и р(х) = h (х)

называют равносильными , если множества их корней совпадают.

Пример 1. Выяснить, являются ли уравнения х 2 – 1 = 0 и х –1 = 0 равносильными?

Решение.

х – 1 = 0;

х = 1 ;

х 2 – 1 = 0;

х 1 = 1, х 2 = –1;

Ответ: уравнения х 2 – 1 = 0 и х – 1 = 0 не являются равносильными.

Пример 2. Выяснить, являются ли уравнения х 2 – 9 = 0 и (х + 3)(2 х – 8) = 0 равносильными?

Решение.

х 2 – 9 = 0;

х 1 = 3, х 2 = –3;

(х + 3)(2 х – 8) = 0;

х 1 = 3, х 2 = –3;

Ответ: уравнения х 2 – 9 = 0 и (х + 3)(2 х – 8) = 0 являются равносильными.

Решение.

х 2 + 3 = 0 – не имеет корней;

Если каждый корень уравнения f ( x ) = g (х) (1)

является в то же время корнем уравнения р(х) = h (х) (2)

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Пример 4. Выяснить, какое из уравнений х – 2 = 0 и х 2 – 5х + 6 = 0

является следствием другого?

Решение.

х – 2 = 0;

х = 2;

х 2 – 5х + 6 = 0;

х 1 = 2; х 2 = 3;

Ответ: уравнение х 2 – 5х + 6 = 0 является следствием

уравнения х – 2 = 0.

Пример 5. Выяснить, какое из уравнений х 2 – 4х + 3 = 0 и х 2 – 5х + 6 = 0

является следствием другого?

Решение.

х 2 – 4х + 3 = 0;

х 1 =1; х 2 = 3;

х 2 – 5х + 6 = 0;

х 1 = 2; х 2 = 3;

Ответ: ни одно из уравнений не является следствием другого.

Запомни: если каждое из двух уравнений является следствием другого, то такие два уравнения равносильны .

Первый этап – технический .

Второй этап – анализ решения .

Третий этап – проверка .

Теорема 1.

Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком , то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

х 5 + 3х 2 – 7 = 4х + 10;

х 5 + 3х 2 – 4х = 17.

Теорема 2.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень , то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

0 , a ≠1 , равносильно уравнению f ( x ) = g (х) . " width="640"

Теорема 3 .

Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) , где а 0 , a ≠1 , равносильно уравнению f ( x ) = g (х) .

Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х , при которых одновре­менно имеют смысл выражения f (х) и g (х) .

Теорема 4 .

Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х) , которое:

1 . имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х) ;

2 . нигде в этой области не обращается в 0 ;

то получится уравнение f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ) , равносильное данному в его ОДЗ.

Решение.

2х – 1 ≥ 0 ;

х + 3 ≠ 0 ;

х ≥ 0,5 ;

Теорема 5.

Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Решение.

6х – 11=(х – 1) 2 ;

х 1 = 6 , х 2 = 2 .

0 , a ≠ 1 и f (х) 0 , g (х) 0 , , то логарифмическое уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно уравнению f ( x ) = g (х) . " width="640"

Теорема 6 .

Пусть а 0 , a ≠ 1 и f (х) 0 , g (х) 0 , , то логарифмическое уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно уравнению

f ( x ) = g (х) .

Пример 8 . Решить уравнение log 7 (3х 2 +2) = log 7 (4 | х | +1) .

Решение.

f (х) = 3х 2 +2 ;

g (х)= 4 | х | +1 ;

3х 2 + 2 = 4 | х | + 1 ;