Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

Уравнением с одной переменной x называется выражение

f(x)=g(x) (1)

содержащее переменную величину x и знак равенства.

Среди видов уравнений различают

• алгебраические,
• параметрические,
• трансцендентные,
• функциональные,
• дифференциальные
• и другие виды уравнений.

К алгебраическим уравнениям относятся:

• линейные уравнения - ax + b = 0.
• квадратные уравнения - ax 2  + bx + c = 0.
• кубические уравнения –

ax 3  + bx 2  + cx + d = 0.

• уравнения четвертой степени –

ax 4  + bx 3  + cх 2 + dx + e = 0.

ax 4 + bx 2 + c = 0. (биквадратное)

Число a называется корнем (или решением ) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f ( x )= g ( x ) и f 1 ( x )= g 1 ( x )

называются равносильными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений.

Решение уравнения (как действие) – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием .

Основные тождественные преобразования :

• Замена одного выражения другим, тождественно равным ему ;
• Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками;
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля;
• Возведение обеих частей уравнения в нечётную степень или извлечение из обеих частей уравнения корня нечётной степени .

Закрепление изученного материала

Закрепление изученного материала