Равносильные неравенства.

Равносильные неравенства.

Равносильными неравенствами называются неравенства, имеющие одни и те же решения или не имеющие таковых.

Другими словами, если каждое, отдельно взятое, решение первого неравенства является решением второго неравенства, а каждое, отдельно взятое, решение второго неравенства является решением первого, то такие неравенства равносильны.

Например,

а) каждое из неравенств имеет одинаковое множество решений . Значит, эти неравенства равносильны;

б) каждое из неравенств не имеет решений. Значит, эти неравенства равносильны;

в) неравенства и не являются равносильными, так как второе неравенство в множестве своих решений содержит число 5, которое не является решением первого неравенства.

Равносильное преобразование неравенства – это замена его другим, равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Перечислим наиболее часто используемые равносильные преобразования неравенств.

• Если выражения в левой и (или) правой части неравенства заменить тождественно равными выражениями на всей области определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

• Если к обеим частям неравенства прибавить (или отнять) одно и то же выражение, не изменяющее область определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

• Если какой-либо член неравенства перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получится неравенство равносильное исходному.

• Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же выражение, положительное при всех значениях аргумента из области определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

• Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях аргумента из области определения исходного неравенства, и поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.

• Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному.

• Если обе части неравенства неотрицательны на всей области определения, то возведя обе части неравенства в одну и ту же чётную степень, получится неравенство, равносильное исходному.

Приведём несколько примеров применения равносильных преобразований при решении неравенств.

Если решение первого неравенства содержится в решении второго неравенства, то второе является следствием первого.

Например, решением неравенства является . Решением неравенства является промежуток . Решение второго неравенства является частью решения первого, а поэтому первое неравенство - это следствие второго неравенства.

Если знаки неравенств поменять на противоположные, то уже второе неравенство станет следствием первого. Решением является промежуток , решением неравенства – промежуток . Решение первого неравенства является частью решения второго.

Итак, в завершение ещё раз обращаем внимание на то, что при решении неравенств необходимо совершать равносильные преобразования, во избежание появления посторонних решений или потери решений.

1. Равносильны ли следующие неравенства:

1. Решить неравенства:

2