Разбор заданий школьного этапа ВсШО по математике для 6 класса

6 класс (решения)

Задача 6.1. В набор входят 8 гирь: 5 одинаковых круглых, 2 одинаковые треугольные и одна прямоугольная гиря весом 90 грамм.

Известно, что 1 круглая и 1 треугольная гиря уравновешивают 3 круглые гири. Кроме это- го, 4 круглые гири и 1 треугольная уравновешивают 1 треугольную, 1 круглую и 1 прямо- угольную гирю.

Сколько весит треугольная гиря?

Ответ: 60.

Решение. Из первого взвешивания следует, что 1 треугольная гиря уравновешивает 2 круг- лые гири.

Из второго взвешивания следует, что 3 круглые гири уравновешивают 1 прямоугольную гирю, которая весит 90 грамм. Следовательно, круглая гиря весит 90 ∶ 3 = 30 грамм, а треугольная — 30 ⋅ 2 = 60 грамм.

Задача 6.2. У ювелира есть шесть шкатулок: в двух лежат алмазы, в двух — изумруды, в двух — рубины. На каждой шкатулке написано, сколько драгоценных камней в ней лежит.

Известно, что общее количество рубинов на 15 больше общего количества алмазов. Сколь- ко суммарно изумрудов лежит в шкатулках?

Ответ: 12.

Решение. Всего рубинов не больше 13 +8 = 21, а алмазов не меньше 2 +4 = 6, при этом по условию их количества различаются на 15. Такое возможно, только если рубины лежат в шкатулках с 13 и 8 камнями, а алмазы — в шкатулках с 2 и 4 камнями. Тогда изумруды лежат в двух оставшихся шкатулках, и их всего 5 + 7 = 12.

Задача 6.3. В новом учебнике по математике всего 91 задача. Юра начал их решать по утрам, начиная с 6 сентября.

Каждым утром, начиная с 7 сентября, он решает на одну задачу меньше, чем предыдущим утром (пока задачи не закончатся).

Вечером 8 сентября Юра понял, что в учебнике осталось решить ещё 46 задач. Какого сентября он дорешает учебник?

Ответ: 12.

Решение. За первые 3 дня Юра решил 91 − 46 = 45 задач. Пусть 7 сентября он решил

𝑧 задач, тогда 6 сентября он решил (𝑧 + 1) задач, а 8 сентября он решил (𝑧 − 1) задач. Получаем, что 45 = (𝑧 + 1) + 𝑧 + (𝑧 − 1) = 3𝑧, откуда 𝑧 = 15.

Поскольку 91 = 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10, Юра будет решать задачи ровно 7 дней, с

1. по 12 сентября.

Задача 6.4. Найдите любое решение ребуса

где 𝐴, 𝐵, 𝐶 — три различные ненулевые цифры. Введите значения цифр 𝐴, 𝐵, 𝐶.

Вместо буквы 𝐴 должна стоять цифра:

Вместо буквы 𝐵 должна стоять цифра:

Вместо буквы 𝐶 должна стоять цифра:

Ответ: 𝐴 = 4, 𝐵 = 7, 𝐶 = 6.

Решение. Предположим, 𝐴 ⩽ 3. Тогда 1416 = 𝐴𝐵𝐴 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐶 400 + 400 + 400 = 1200

— противоречие.

Предположим, 𝐴 ⩾ 5. Тогда 1416 = 𝐴𝐵𝐴 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐶 ⩾ 500 + 500 + 500 = 1500 — противоречие.

Следовательно, 𝐴 = 4. Рассмотрев разряд единиц, получаем 𝐴+2𝐶 = 4+2𝐶 заканчивается на 6, что возможно лишь при 𝐶 = 1 или 𝐶 = 6.

Если 𝐶 = 1, то 1416 = 𝐴𝐵𝐴 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐶 ⩽ 494 + 491 + 411 = 1396 — противоречие. Следовательно, 𝐶 = 6. Тогда

1416 = 4𝐵4 + 4𝐵6 + 466 = (404 + 𝐵0) + (406 + 𝐵0) + 466 = 1276 + 2 ⋅ 𝐵0,

откуда получаем 𝐵 = 7.

Задача 6.5. Маша сказала Саше, что задумала два различных натуральных числа, боль- ших 11. Потом она сообщила Саше их сумму.

• Саша, подумав, сказал: «Я не знаю задуманные числа».

• На что Маша ответила: «Как минимум одно из них — чётное».

• Тогда Саша сказал: «Теперь я точно знаю задуманные числа!» Какие числа задумала Маша? Введите ответы в любом порядке. Ответ: 12 и 16.

Решение. Сумма двух задуманных различных натуральных чисел, больших 11, является

натуральным числом, не меньшим 12 + 13 = 25.

Предположим, Маша сказала Саше, что сумма чисел равна 25. Тогда он бы сразу понял, что это числа 12 и 13. Противоречие.

Предположим, Маша сказала Саше, что сумма чисел равна 26. Тогда он бы сразу понял, что это числа 12 и 14 (два одинаковых числа 13 быть не могло). Противоречие.

Предположим, Маша сказала Саше, что сумма чисел равна 27. Узнав про чётность одного из чисел, Саша бы наверняка так и не понял задуманные числа: то ли это были 12 и 15, то ли 13 и 14. Противоречие.

Предположим, Маша сказала Саше, что сумма чисел равна 28. Тогда он бы понял, что это могли быть либо 12 и 16, либо 13 и 15 (два одинаковых числа 14 быть не могло). Узнав про чётность одного из чисел, Саша бы точно понял, что это числа 12 и 16.

Предположим, Маша сказала Саше, что сумма чисел равна 𝑆 ⩾ 29. Узнав про чётность одного из чисел, Саша бы наверняка так и не понял задуманные числа. Действительно, как минимум две пары подходят под все вышеописанные условия: 12 и 𝑆 − 12 (причём

𝑆 − 12 12), а также 14 и 𝑆 − 14 (причём 𝑆 − 14 14). Противоречие.

Задача 6.6. Ксюша бегает в два раза быстрее, чем ходит пешком (обе скорости постоян- ные).

Во вторник, выйдя из дома в школу, она сначала шла, а потом, когда поняла, что опаз- дывает, побежала. При этом расстояние, которое Ксюша прошла, было вдвое больше рас- стояния, которое она пробежала. В итоге от дома до школы она добралась ровно за 30 минут.

В среду Ксюша вышла из дома ещё позже, поэтому бежать пришлось вдвое большее рас- стояние, чем идти пешком. За сколько минут она добралась от дома до школы в среду?

Ответ: 24.

Решение. Пусть расстояние от дома до школы равно 3𝑆, скорость ходьбы Ксюши равна 𝑣, а скорость бега — 2𝑣 (расстояние измеряем в метрах, а скорость — в метрах в минуту). Тогда во вторник Ксюша прошла расстояние 2𝑆 и пробежала расстояние 𝑆. А в среду наоборот, она прошла расстояние 𝑆 и пробежала расстояние 2𝑆.

По условию 30 = ^2𝑆 + ^𝑆

₌ 4𝑆 ₊ 𝑆

= ^5𝑆 , откуда получаем ^𝑆 = 30 ⋅ ² = 12.

𝑣 2𝑣

2𝑣

2𝑣

2𝑣

𝑣 5

Тогда в среду Ксюша добралась до школы за ^2𝑆 + ^𝑆 = ^𝑆 + ^𝑆 = 12 + 12 = 24 минуты.

2𝑣 𝑣 𝑣 𝑣

Задача 6.7. В журнале «Юный конструктор» есть чертёж для сбора небольшой коробки, изображённый на рисунке. Верхний прямоугольник — крышка коробки, нижний — дно коробки, остальные четыре прямоугольника — боковые стенки.

Вычислите в сантиметрах длину, ширину и высоту коробки, которую удастся склеить, если соблюсти размеры, указанные на чертеже. Введите ответы в любом порядке.

Ответ: Размеры коробки — 5 × 8 × 12.

Решение. Пусть 𝑎 — наименьший из всех трёх размеров коробки, 𝑏 — второй по вели- чине, 𝑐 — наибольший (все размеры измеряем в сантиметрах). Из условия следует, что

𝑎 + 𝑐 = 17, 𝑎 +𝑏 = 13, 𝑐 +𝑏 + 𝑐 +𝑏 = 40 (последнее условие означает, что 𝑏 + 𝑐 = 20). Сумма всех трёх размеров равна

_{𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =} (𝑎 + 𝑏) + (𝑏 + 𝑐) + (𝑐 + 𝑎) ₌ 13 + 20 + 17 _{= 25.}

2 2

Тогда 𝑎 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐) = 25 − 20 = 5, 𝑏 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑐) = 25 − 17 = 8,

𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑏) = 25 − 13 = 12. Значит, коробка имеет размеры 5 × 8 × 12.

Задача 6.8. В стране Драконии живут красные, зелёные и синие драконы. У каждого дра- кона три головы, каждая из которых всегда говорит только правду или всегда лжёт. При этом у каждого дракона хотя бы одна голова говорит правду. Однажды за круглый стол сели 530 драконов, и каждый из них сказал:

• 1-я голова: «Слева от меня зелёный дракон».

• 2-я голова: «Справа от меня синий дракон».

• 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона».

Какое наибольшее количество красных драконов могло быть за столом?

Ответ: 176.

Решение. Рассмотрим произвольного красного дракона. У дракона справа от него хотя бы одна голова должна сказать правду. Заметим, что 1-я и 3-я головы не могут говорить прав- ду (ведь слева находится красный дракон), поэтому правду говорит 2-я голова, и справа от этого дракона обязательно синий дракон. Теперь рассмотрим дракона слева от выбранно- го красного. Аналогичными рассуждениями понимаем, что у него правду может сказать только 1-я голова, и слева от этого дракона обязательно зелёный.

Из предыдущих рассуждений получаем, что для любого красного дракона через один справа от него обязательно находится синий дракон, а через один слева — зелёный. Для каждого красного дракона объединим этих трёх драконов в одну группу. Заметим, что любой дракон входит максимум в одну такую группу. Тогда получаем, что таких групп не больше 530/3 , т.е. не больше 176. Следовательно, и красных драконов не больше 176.

Теперь приведём пример. Рассадим 176 красных драконов по кругу, и в 175 промежут- ков между ними поставим зелёного и синего дракона: …КЗСК…, а в один промежуток по- ставим двух синих и двух зелёных драконов: …КССЗЗК…. Несложно проверить, что все условия выполняются: у каждого дракона минимум одна голова скажет правду, а всего драконов ровно 530.