Разбор задания №17 ЕГЭ математика базового уровня

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 17

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 17 указывается «Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения»

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 7.

В подготовке к ЕГЭ по математике важны все три составляющие:

- знание теории;

• наличие практических навыков решения задач разных типов;
• умение увидеть решение и использовать знания из разных разделов для решения поставленной задачи

ТИП ЗАДАНИЯ: уравнение.

ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНИЯ: несложное рациональное, показательное, логарифмическое, тригонометрическое или иррациональное уравнение.

КОММЕНТАРИЙ: уравнение сводится в одно действие к линейному или квадратному (в этом случае в ответе нужно указать только один из корней – больший или меньший). Неправильные ответы связаны в основном с арифметическими ошибками.

Дробно-рациональные уравнения

Решите уравнение

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решите уравнение

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.

Область допустимых значений: х≠10.

На этой области помножим на знаменатель: 

Оба корня лежат в ОДЗ. Меньший из них равен −3. 

Ответ: -3

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень :

После элементарных преобразований получаем:

Ответ: 23

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решение.

Возведем в квадрат:

Далее получаем

откуда

Ответ: -2

Решите уравнение

Решите уравнение

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

От равенства оснований переходит к равенству степеней:

Откуда

Ответ: 3

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решение.

Используя формулу

получаем:

Ответ: 6

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решение.

Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны :

Откуда получаем

Ответ: 6

Повторение значения синуса и косинуса

у π/2 90°

1

120° 2π/3 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°

180° π -1 0 1 0 0° x

- 1/2 ½ 2π 360 (cost)

210° 7π/6 - 1/2 11π/6 330° [-π/6]

225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]

-1

270° 3π/2 [-π/2]

(sint)

Арккосинус

у

Арккосинусом числа а называется

такое число (угол) t из [0;π], что

cos t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

π/2

arccos а = t

arccos( - а )

х

0

π

arccos( - а ) = π- arccos а

-1

1

а

-а

Арксинус

Арксинусом числа а называется

такое число (угол) t из [-π/2;π/2] ,

что sin t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

1

arcsin а = t

а

х

- а

arcsin( - а )

arcsin( - а )= - arcsin а

-1

-π/2

Арктангенс

а

у

Арктангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (-π/2;π/2),

что tg t = а .

Причём, а Є R.

π/2

arctg а = t

х

0

arctg( - а ) = - arctg а

arctg( - а )

-π/2

- а

Арккотангенс

у

Арккотангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (0;π),

что c tg t = а .

Причём, а ЄR .

- а

а

arcctg а = t

arcctg( - а )

π

0

х

arcctg( - а ) = π – arcctg а

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

1.cost = а , где | а| ≤ 1

или

1) cost=0

t = π/2+πk‚ kЄZ

Частные случаи

3) cost = -1

2) cost=1

t = π+2πk‚ kЄZ

t = 2πk‚ kЄZ

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

2. sint = а, где | а |≤ 1

или

Частные случаи

1) sint=0

t = πk‚ kЄZ

2) sint=1

3) sint = - 1

t = π/2+2πk‚ kЄZ

t = - π/2+2πk‚ kЄZ

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

3. tgt = а, а ЄR

t = arctg а + πk‚ k ЄZ

4. ctgt = а, а ЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший отрицательный корень

В ответе запишите наибольший

Найдите корень уравнения

отрицательный корень

Решение

Сделаем замену.

Пусть 𝑡 = 𝜋 𝑥

6

3

Тогда со𝑠 𝑡 =

2

𝜋

6

3

2

𝜋

−

6

𝜋

𝑡 = 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋

𝑡 = − + 2𝜋𝑛,

6

𝑛 ∈ 𝑍

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший

отрицательный корень

Решение

Сделаем замену.

Обратная замена

𝜋 х 𝜋

6 = 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋𝑥 = 𝜋 + 12𝜋𝑛

𝜋 х 𝜋

6 = − 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋𝑥 = −𝜋 + 12𝜋𝑛

Пусть 𝑡 = 𝜋 𝑥

6

3

Тогда со𝑠 𝑡 =

𝑥 = −1 + 12𝑛

2

𝑥 = 1 + 12𝑛

𝜋

6

3

2

𝜋

−

6

𝜋

𝑡 = 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋

𝑡 = − + 2𝜋𝑛,

6

𝑛 ∈ 𝑍

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший

отрицательный корень

Решение

Сделаем замену.

Обратная замена

𝜋 х 𝜋

6 = 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋𝑥 = 𝜋 + 12𝜋𝑛

𝜋 х 𝜋

6 = − 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋𝑥 = −𝜋 + 12𝜋𝑛

Пусть 𝑡 = 𝜋 𝑥

6

3

Тогда со𝑠 𝑡 =

𝑥 = −1 + 12𝑛

𝑥 = 11

2

𝑥 = 1 + 12𝑛

𝑥 = 13

𝜋

6

𝑛 = 1

𝑥 = 1

𝑛 = 0

𝑥 = −1

3

2

𝜋

−

𝑛 = −1

𝑥 = −13

𝑥 = −11

6

𝜋

𝑡 = 6 + 2𝜋𝑛,

𝜋

𝑡 = − + 2𝜋𝑛,

6

𝑛 ∈ 𝑍

Ответ: - 1

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший отрицательный корень

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший

отрицательный корень

Решение

Сделаем замену .

Пусть 𝑡 = 𝜋(𝑥+3)

3

Тогда 𝑡𝑔 𝑡 = − 3

𝜋

𝑡 = − + 𝜋𝑛,

3

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший

отрицательный корень

Решение

Сделаем замену.

Обратная замена

𝜋 (𝑥 + 3 ) 𝜋

= − + 𝜋𝑛,

Пусть 𝑡 = 𝜋(𝑥+3)

3

= −𝜋 + 3𝜋𝑛

3

3

𝜋 𝑥 + 3

Тогда 𝑡𝑔 𝑡 = − 3

𝑥 + 3 = −1 + 3𝑛

𝑥 = −4 + 3𝑛

𝜋

𝑡 = − + 𝜋𝑛,

3

Найдите корень уравнения

В ответе запишите наибольший

отрицательный корень

Решение

Сделаем замену.

Обратная замена

𝜋 (𝑥 + 3 ) 𝜋

= − + 𝜋𝑛,

Пусть 𝑡 = 𝜋(𝑥+3)

3

= −𝜋 + 3𝜋𝑛

3

3

𝜋 𝑥 + 3

Тогда 𝑡𝑔 𝑡 = − 3

𝑥 + 3 = −1 + 3𝑛

𝑥 = −4 + 3𝑛

𝑥 = −4

𝑥 = −1

𝑛 = 0

𝑛 = 1

𝑥 = 2

𝑛 = 2

𝜋

𝑡 = − + 𝜋𝑛,

3

Ответ: - 1

Найдите корень уравнения

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Найдите корень уравнения

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Домашнее задание:

задание 17 в сборнике ЕГЭ

Спасибо за урок!