Разбор задания №19 ЕГЭ математика базового уровня

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 19

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 19 указывается « Умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений, умение решать текстовые задачи разных типов, умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи»

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 15.

В подготовке к ЕГЭ по математике важны все три составляющие:

• знание теории;
• наличие практических навыков решения задач разных типов;
• умение увидеть решение и использовать знания из разных разделов для решения поставленной задачи

Немного из истории

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9,10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.

Немного из истории

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228).

Признаки делимости чисел:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2

Число оканчивается одной из цифр

  0, 2, 4, 6, 8, то это число делится на 2 нацело

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4

Число делится на 4, если две последние его цифры делятся на 4.

135 456 делится на 4, т.к. 56:4=14

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4)

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 8

Число делится на 8, если три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на 8.

21 952 делится на 8, т.к. 952:8= 119

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11

Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.

242 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях 4; сумма цифр на четных позициях 4.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5

Число оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.

2645, 540, 23785, 6430, т. к. их запись оканчивается цифрами 0 либо 5.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.

460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Число 6375 делится на 3, т.к. сумма его цифр  кратна 3. Также заданное число делится на 5, потому что на последнем месте стоит пятерка. Из этого следует, что число 6375 делится на 15.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 25

Число делится на 25, если число, образованное его последними двумя цифрами делятся на 25.

652 475 делится на 25, т.к. 75 делится на 25

ЗАДАЧА 1 .

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25.

В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

ЗАДАЧА 1 .

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25.

В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Решение:

Число кратное 15 делится на 5 и на 3, значит, данное число оканчивается на 5 (0 не удовлетворяет условию, произведение цифр которого больше 0). Остальные цифры подбираем так, чтобы сумма цифр делилась на 3 и произведение цифр которого больше 0, но меньше 25.

ЗАДАЧА 1 .

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25.

В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Решение:

Число кратное 15 делится на 5 и на 3, значит, данное число оканчивается на 5 ( 0 не удовлетворяет условию, произведение цифр которого больше 0). Остальные цифры подбираем так, чтобы сумма цифр делилась на 3 и произведение цифр которого больше 0, но меньше 25.

Ответ: 1125

Задача 2

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое­-нибудь одно получившееся число.

Задача 2

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое­-нибудь одно получившееся число.

Решение:

Число кратное 18 делится на 2 и на 9, значит, последняя цифра должна быть четной. Вычеркиваем последнюю цифру.

8+5+4+1+7+6+2=33, следовательно, вычеркиваем 2 цифры сумма которых равна 6 или 15.

Задача 2

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое­-нибудь одно получившееся число.

Решение:

Число кратное 18 делится на 2 и на 9, значит, последняя цифра должна быть четной. Вычеркиваем последнюю цифру.

8+5+4+1+7+6+2=33, следовательно, вычеркиваем 2 цифры сумма которых равна 6 или 15.

Ответ: 84762

Задача 3

Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Задача 3

Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Решение:

Т.к. сумма цифр числа равна их произведению, то используемые цифры должны быть маленькими и число должно оканчиваться на четную цифру.

Задача 3

Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Решение:

Т.к. сумма цифр числа равна их произведению, то используемые цифры должны быть маленькими и число должно оканчиваться на четную цифру.

Ответ: 11152

Задача 4

Найдите четырёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Задача 4

Найдите четырёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Решение:

Число кратное 25 должно оканчиваться на 00 или 25, или 50, или 75. Нашему условию удовлетворяет 75. Остальные цифры подбираем так, чтобы все цифры числа были различны и нечётны.

Задача 4

Найдите четырёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое­-нибудь одно такое число.

Решение:

Число кратное 25 должно оканчиваться на 00 или 25, или 50, или 75. Нашему условию удовлетворяет 75. Остальные цифры подбираем так, чтобы все цифры числа были различны и нечётны.

Ответ: 1375

Задача 5.

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

ЗАДАЧА 5 . Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ . 24 = 1·24 = 2·12 = 3·8 = 4·6.

Теория .

1. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

2. Число делится на 8, если три последние цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

– некоторое шестизначное число.

Число делится на 24, значит, должно делиться на 3 и на 8.

Число делится на 8, последние три цифры в записи числа - 112.

a + b + c + 1 + 1 + 2 = a + b + c + 4.

a + b + c = 2 нет возможности.

a + b + c = 5, 5 = 2 + 2 + 1.

ЗАДАЧА 5 . Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ . 24 = 1·24 = 2·12 = 3·8 = 4·6.

Теория .

1. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

2. Число делится на 8, если три последние цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

– некоторое шестизначное число.

Число делится на 24, значит, должно делиться на 3 и на 8.

Число делится на 8, последние три цифры в записи числа - 112.

a + b + c + 1 + 1 + 2 = a + b + c + 4.

a + b + c = 2 нет возможности.

a + b + c = 5, 5 = 2 + 2 + 1.

ОТВЕТ . 221112; 212112; 122112.

Задача 6

Найдите четырехзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

ЗАДАЧА 6 . Найдите четырехзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ . Число делится на 88.

88 = 8·11 ,

для делимости на 11 a + c = b + d и

(три последние цифры в записи числа) должно делиться на 8.

Помним, что все цифры четные и различные.

Четные цифры это – 0, 2, 4, 6, 8.

2 + 4 = 6 + 0 , то есть число 2640 . Это проверка делимости на 11

Проверяем делимость на 8. 640 делится на 8.

Другую последовательность этих цифр взять нельзя ( 2046 ), потому что не выполняется делимость на 8.

Рассмотрим цифры 2, 4, 6, 8.

2 + 8 = 4 + 6 . Получим число 2486 или 8426 или 8624 или 6248 . Первые два числа не подходят – не выполняется признак делимости на 8, а вот два последних числа соответствуют второму условию ( 8624; 6248 ).

ЗАДАЧА 6 . Найдите четырехзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ . Число делится на 88.

88 = 8·11 ,

для делимости на 11 a + c = b + d и

(три последние цифры в записи числа) должно делиться на 8.

Помним, что все цифры четные и различные.

Четные цифры это – 0, 2, 4, 6, 8.

2 + 4 = 6 + 0 , то есть число 2640 . Это проверка делимости на 11

Проверяем делимость на 8. 640 делится на 8.

Другую последовательность этих цифр взять нельзя ( 2046 ), потому что не выполняется делимость на 8.

Рассмотрим цифры 2, 4, 6, 8.

2 + 8 = 4 + 6 . Получим число 2486 или 8426 или 8624 или 6248 . Первые два числа не подходят – не выполняется признак делимости на 8, а вот два последних числа соответствуют второму условию ( 8624; 6248 ).

ОТВЕТ . 2640; 8624; 6248 .

Задача 7

Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число .

Задача 7

Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число .

РЕШЕНИЕ .

Так как число делится на 4, на 5 и на 6 и дает в остатке 1, значит, оно делится на

4·5·6 = 120 и в остатке так же дает 1, т.е. число может иметь вид 120n + 1 , где n – некоторое натуральное число.

Такими числами могут быть числа: 121; 241; 361; 481; 601; 721; 841; 961 и еще такими числами могут быть числа 181; 301; 421; 541; 661; 781; 901.

Проверяем второе условие, о расположении цифр в записи

числа порядке убывания слева направо, получим

721; 841; 961; 421; 541 . Других вариантов нет.

Задача 7

Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число .

РЕШЕНИЕ .

Так как число делится на 4, на 5 и на 6 и дает в остатке 1, значит, оно делится на

4·5·6 = 120 и в остатке так же дает 1, т.е. число может иметь вид 120n + 1 , где n – некоторое натуральное число.

Такими числами могут быть числа: 121; 241; 361; 481; 601; 721; 841; 961 и еще такими числами могут быть числа 181; 301; 421; 541; 661; 781; 901.

Проверяем второе условие, о расположении цифр в записи

числа порядке убывания слева направо, получим

721; 841; 961; 421; 541 . Других вариантов нет.

ОТВЕТ . 721; 841; 961; 421; 541 .

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра: d= 0 или d= 5

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра: d= 0 или d= 5

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра: d= 0 или d= 5

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

40

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра: d= 0 или d= 5

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

40

Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45

abc

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра: d= 0 или d= 5

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

40

Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45

abc

abc =1

Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра: d= 0 или d= 5

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

40

Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45

abc

abc =1

1

3

3

5

19

х

3

х

1

0

41

Домашнее задание:

задание №19

в сборнике ЕГЭ

варианты №1-10

Спасибо за урок!