Различные способы решения квадратных уравнений.

Долгополов Даниил Андреевич

ученик 9 ” б ” МБОУ гимназия №8 г. Тихорецк

Руководитель: Сахно Елена Ивановна

учитель математики

• Цель работы: Рассказать что такое квадратное уравнение и показать способы решения этого уравнения.
• Задачи:

• 1) Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.
• 2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений.
• 3) Провести анализ этих способов, сравнить их.
• 4) Привести примеры применения различных способов решения уравнений.

• Объект исследования: квадратные уравнения .
• Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений .

• В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.
• В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

• Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
• Квадратные уравнения умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.
• Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

• Квадратное уравнение- алгебраическое уравнение общего вида ax 2 + bx + c = 0 ,

• Где x – свободная переменная
• a , b , c – коэффициенты, причем a ≠ 0
• a – старший коэффициент
• b – средний коэффициент
• c – свободный член

• Приведенным называется квадратное уравнение, в котором старший коэффициент ( a ) равен единице.
• Полным называют квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
• Неполным называют такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего ( c или b ) равен нулю.

• Разложение левой части уравнения на множители
• Метод выделения полного квадрата
• Решение квадратных уравнений по формуле
• Графическое решение квадратного уравнения
• Решение уравнений с использованием теоремы Виета
• Решение уравнений способом "переброски“
• Решение уравнений с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения
• Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
• Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
• Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Пример:

x 2 - x – 6 = 0

x 2 - x – 6 = ( x – 3 ) ( x + 2 )

( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Значит или ( x – 3 ) = 0 или ( x + 2 ) = 0

x = 3 x = - 2

Ответ: -2 ; 3

* - знак умножения

Здесь используется формула:

( x + (-) d ) 2 = x 2 + (-) 2dx + d 2

Пример :

x 2 - 2x + 1 = 0

x 2 - 2x + 1 = ( x – 1 ) 2

( x – 1 ) 2 = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

( x – 1 ) = 0

x = 1

Ответ: 1

0 , то у уравнения два корня и они находятся по формуле: x 1 , 2 = Если D = 0 , то у уравнения один корень и он находится по формуле: x = Если D " width="640"

Для нахождения корней уравнения надо найти дискриминант по формуле:

D = b 2 – 4ac

Дискриминант показывает есть или нет корней у данного уравнения и сколько их один или два.

Если D 0 , то у уравнения два корня и они находятся по формуле:

x 1 , 2 =

Если D = 0 , то у уравнения один корень и он находится по формуле:

x =

Если D

0 , то ветви направлены вверх, если a с – показывает в какой точке график пересекает ось Y . После того как была составлена таблица значений x и y и начерчен график, пересечения графика с осью X и будут являться корнями уравнения. " width="640"

При функции y = ax 2 + bx + c = 0 , то графиком функции будет являться парабола.

Здесь коэффициент:

a – отвечает за направление ветвей (если a 0 , то ветви направлены вверх, если a

с – показывает в какой точке график пересекает ось Y .

После того как была составлена таблица значений x и y и начерчен график, пересечения графика с осью X и будут являться корнями уравнения.

• Приведённые квадратные уравнения легко решать по теореме Виета. Достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.
• Например, для уравнения x 2 -7x+12=0 Нужно найти числа, произведение которых равно 12 , а сумма 7 . Такими числами будут 3 и 4 . Значит x 1 =3 , x 2 =4
• Но можно использовать этот метод и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице. Поясним на примере.
• Допустим, нужно решить уравнение 3x 2 +2x-5=0
• Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0
• Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15 , а сумма равна - 2 . Эти числа - 5 и 3 . Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент. Таким образом x 1 =-5/3 , x 2 =1

• Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 , где а ≠ 0 .
• Умножая обе его части на а , получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0 .
• Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0 , равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.
• Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .
• При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски" . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
• Решим уравнение 2х 2 - 11х + 15 = 0 .
• Решение. " Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 - 11у + 30 = 0 .
• Согласно обратной теореме Виета
•  
• у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5
• у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.
•  
• Ответ: х 1 =2,5; х 2 = 3

• Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 , а ≠ 0 .
• 1. Если a + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),
• то х 1 = 1 , х 2 =
• 2. Если а - b + с = 0 , или b = а + с ,
• то х 1 = - 1 , х 2 =

• Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х 1 ; 0) и D ( х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и
• проходит через точки А (0;1) и С (0; )
• на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙О D = ОА ∙ ОС , откуда
•  
• ОС =

• Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

• SK = SF =

SK ), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. а) B (х 1 ; 0) и D ( х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = S В ), окружность касается оси Ох (рис. б) в точке B (х 1 ; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра ( AS S В ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения. " width="640"

Итак:

Построим точки S ( ; )и А (0;1);

проведем окружность с радиусом SA ; абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS SK ), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. а) B (х 1 ; 0) и D ( х 2 ; 0), где

х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = S В ), окружность касается оси Ох (рис. б) в точке B (х 1 ; 0), где

х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра ( AS S В ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

• Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений
• Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
• Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:
• ОВ = , АВ =
• Полагая ОС = р , Е D = q , ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и С DF получим пропорцию
• откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
• 1. Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 8 и z 2 = 1 (рис.12).
• 2. Решим с помощью номограммы уравнение 2 z 2 - 9 z + 2 = 0.
• Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5 +1=0.
• Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

• При делении P (х) на х- a в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):
• P ( x ) = ( x - a ) Q ( x ) + r . (1)
• Чтобы найти значение r , положим в тождестве (1) х = a . При этом двучлен х - a обращается в нуль, получаем, что P ( a ) = r .
• Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.
• Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P ( x ) на двучлен х - a равен P ( a ) (т.е. значению P ( x ) при х = a ).
• Если число является корнем многочлена P ( x ), то этот многочлен делится на х - без остатка.
• х 2 -4х+3=0
• Р 2 (х) = х 2 -4х+3
• α ; ±1,±3. α =1, 1-4+3=0
• Разделим P (х) на (х-1)
• (х 2 -4х+3) / (х-1) =х-3
• х 2 -4х+3= (х-1) (х-3)
• (х-1) (х-3) =0
• х-1=0; х 1 =1, или х-3=0, х 2 =3; Ответ: х 1 =1, х 2 =3.

• Способов решения квадратных уравнений очень много. Я нашел 10 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА(ОГЭ). Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом.
• Подводя итоги, можно сделать вывод:
• квадратные уравнения играют огромную роль в математике . Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.