Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Этапы формирования понятия формулы сокращенного выражения

1.Подготовительный этап

Цель: актуализировать опорные знания возведение в квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Метод: частично -поисковый

Прием: фронтальный опрос, беседа

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Развитие познавательных УУД

1. Продолжите формулы сокращенного выражения:

а) …………………………;

б) …………………………

1. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) ; г) ;

б) д) ;

в) ;

1. Впишите вместо знака * недостающие одночлены, так чтобы получилось тождество:

1. Продолжают формулы сокращенного выражения:

а) ;

б) /

2.Представляют выражение в виде квадрата одночлена:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

3.Вписывают вместо знака* недостающие одночлены :

анализ эмоционального состояния;

анализ опорных знаний и умений;

умение структурировать знания;

умение осознанного и произвольного построения речевых высказываний в устной форме

умение структурировать знания;

построение логической цепи рассуждений

осознанное и произвольное построение речевого высказывания в письменной форме;

выбор наиболее эффективных способов решения задач;

2. Мотивационный этап

Цель: заинтересовать учащихся в изучении понятия «формулы сокращенного умножения»

Метод: частично - поисковый

Прием: практическая работа, фронтальный опрос

Посмотрите на формулы сокращенного умножения внимательно и назовите, чем являются левые и правые части этих равенств?

а) ;

б) .

Поменяйте левые и правые части равенств, что бы левые и правые части всех формул можно было назвать одним понятием.

Что представляет собой левая часть всех равенств?

Что представляет собой правая часть всех равенств?

Дети называют формулы

Меняют левые и правые части равенства

Многочлен.

Произведение.

умение осознанного и произвольного построения речевого высказывания в устной и письменной форме;

выделение необходимой информации;

умение строить логические цепи рассуждений;

умение структурировать знания;

умение устанавливать причинно –следственные связи, делать выводы;

использовать знаково –символические средства для решения различных учебных задач.

Ориентировочный этап

- введение понятия

Метод: репродуктивный, частично – поисковый

Прием: беседа, объяснение, практическая работа

Предыдущая тема урока была «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений», то сегодня мы будем изучать на уроке один из приемов разложения на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

Формулы квадрата суммы и квадрата разности применяются только для возведения в квадрат суммы и разности?

Пример 1. Разложим на множители трехчлен:

Укажите первое слагаемое, второе слагаемое удвоенное произведение двух выражений.

Пример 2. Разложим на множители:

.

Обратите внимание, на то, что есть в выражениях трехчлена первое слагаемое, второе слагаемое и удвоенное произведение двух слагаемых могут стоять в примерах не втором порядке как разлаживается множитель.

№895. Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:

a) ;

б)

в)

г)

д)

Если поменять местами в формулах суммы квадрата и квадрата разности левую и правую часть, то формулы можно применить и для разложения на множители выражений.

Раскладывают на множители трехчлен:

Первое слагаемое представляет:

;

Второе слагаемое представляет:

Удвоенное произведение двух выражений:

.

Значит, данный трехчлен можно представить в виде квадрата разности:

( .

Пример 2.

Решение:

Первое слагаемое представляет:

;

Второе слагаемое представляет:

Удвоенное произведение двух выражений:

.

Значит, данный трехчлен можно представить в виде квадрата суммы:

( .

№ 895. Решение

a) ;

б)

в)

г)

д)

выделение необходимой информации;

умение строить логические цепи рассуждений;

умение структурировать знания;

выбор наиболее эффективного способа решения задач;

умение выполнять учебно- познавательные действия в материализованной и умственной форме;

умение строить логические цепи рассуждений;

выбор наиболее эффективного способа решения задач;

умение выполнять учебно- познавательные действия в материализованной и умственной форме;

использовать знаково символические средства для решения различных задач; анализировать, сравнивать и обобщать факты;

умение самостоятельно выделять и формировать познавательные цели;

умение усваивать общие способы действий.

- формирования действия распознавания

Метод: частично –поисковый

Прием: самостоятельная работа, беседа, объяснение

Найдите соответствие:

Находят соответствие

выделение необходимой информации;

умение строить логические цепи рассуждений;

умение структурировать знания; умение выбирать эффективные способы решения задач;

Первоначальное применение понятия

Цель: отработка навыков по использованию понятия «формулы сокращенного выражения» при решении задач

Метод: репродуктивный

Прием: решение практических задач, беседа, объяснение

Учитель вызывает учащихся к доске, контролируя работу и отвечающих, и выполняющих задания в тетрадях. № 871

Выполнить возведение в квадрат

Выполняют № 871 у доски, при возведении в квадрат, обосновывая ответ.

а)(х² -5)² = х⁴ - 10х² + 25

(х²)² = х⁴ и 5² = 25 квадраты первого и второго выражений, 2 5 х² = 10х² удвоенное произведение двух выражений;

б) (7 – у³)² = 49 – 14у³ + у⁶

(7)² = 49 и (у³)² = у⁶ квадраты первого и второго выражений, 27у³ удвоенное произведение двух выражений;

в) (2a + b⁴)² = 4а² + 4ab⁴ +b⁸

(2a)² = 4a² и (b⁴)² = b⁸ квадраты первого и второго выражений, 2 (2аb⁴) удвоенное произведение двух выражений;

г) (- 3p + q³)² = 9p² – 6pq³ + q⁶

(-3p)² = 9p² и (q³)² = q⁶ квадраты первого и второго выражений, 2((- 3pq³) удвоенное произведение двух выражений.

анализ;

постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности;

осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

рефлексия способов и условий действий;

выполнять учебно-познавательные действия в материализованной и умственной форме;

усвоение общего способа действий

1. Расширение класса решаемых задач.

Цель: воспроизведение и закрепление знаний и навыков, полученных на уроке.

Метод: частично – поисковый, репродуктивный.

Прием: работа с учебником, практическая работа

Чтобы возвести большое число не надо пользоваться калькулятором, а используя формулу квадрата суммы и квадрата разности можно вычислить быстро большие числа.

Например, в № 869 надо вычислить, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности

Вы сегодня изучили две формулы, которые вам, для выполнения следующего задания.

Найдите значения выражения:

а) 4² + 4ab + b² при a + 2b = - 3;

б) b² – 6ab + 9a² при 3a – b = - 2

№ 869 вычисляют, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:

а) 61² = (60 + 1)² = 60² + 2601 + 1² = 3600 + 120 + 1 = 3721;

б) 199² = (200 – 1)² = 200² - 22001 + 1² = 40000 -400 + 1 = 39601

в) 999² = (1000 – 1)² = 1000² – 210001 + 1² = 1000000 – 2000 + 1 = 998001;

г) 702² = (700 + 2)² = 700² + 27002 + 2² = 490000 + 2800 + 4 = 492804

д) 9,9² = (10 – 0,1)² = 10² - 210 0,1 + 0,1² = 100 – 2 + 0,01 = 98,01;

е) 10,2² = (10 + 0,2)² = 10² + 210 0,2 + 0,2² = 100 + 4 + 0,04 = 104,04.

Находят значение выражения, обосновывая ответ:

а) 4² + 4ab + b² ,

если вспомнить формулу то квадрат первого выражения = 4², квадрат второго выражения равен b²? А удвоенное произведение равно 4ab? Следовательно, данное выражение можно представить в виде умножения многочленов (4 + b)(4 + b). При a + 2b = -3 получим (-3)(-3) = 9

ответ: 9

б) b² – 6ab + 9a² при 3a – b = - 2

если вспомнить формулу то квадрат первого выражения = b², квадрат второго выражения равен 9a². А удвоенное произведение равно 6ab? Следовательно, данное выражение можно представить в виде умножения многочленов (b – 3a)(b – 3a). при 3a – b = - 2получим (-2)(-2) = 4

ответ: 4

Выполнять учебно познавательные действия в материализованной и письменной форме;

Самостоятельное выделение и формирования познавательной цели;

Структурирование знаний;

Выбор наиболее эффективного использования решения задач в зависимости от конкретных условий;

Рефлексия способов и условий действий, контроль и оценка процесса и результатов действия;

Преобразование модели с целью выявления общих законов;

Анализ объектов;

Использовать знаково – символичные средства для решения учебной задачи

Структурирование знаний;

Выбор наиболее эффективного использования решения задач в зависимости от конкретных условий;

Рефлексия способов и условий действий, контроль и оценка процесса и результатов действия;

Преобразование модели с целью выявления общих законов;

Анализ объектов;

Использовать знаково – символичные средства для решения

учебной задачи

Д\ з стр. 148 вопрос 1,2 Проведите доказательство,

Выполнить в рабочих тетрадях № 893т(в, д), № 894 (в), 895 применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности

Записывают задания на дом, задают вопросы по выполнению домашней работы

Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

Представлять информацию в развернутом виде.