Разность квадратов. Сумма и разность кубов.

Разность квадратов. Сумма и разность кубов

Умножение разности двух выражений на их сумму.

Рассмотрим ещё одно умножение двух двучленов. Что получится, если умножить разность двух выражений на их сумму?

Как видим, такое произведение принимает весьма компактный вид.

Произведение разности двух выражений на их сумму равно квадрату первого выражения минут квадрат второго выражения.

Например,

Разложение разности квадратов на множители.

Логично предположить, что выведенная выше формула работает в обоих направлениях, т.е. как слева направо, так и справа налево. И называется эта формула разностью квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих двух выражений на их сумму.

Например,

Разложение на множители суммы и разности кубов.

Перейдём к более сложному разложению. Сначала посмотрим, что получится, если умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Вы спросите, почему именно их? Отвечу. За нас огромную монотонную работу совершили давным давно великие математические умы. Перемножая бесчисленное количество раз всякие многочлены, было замечено, что существует некий закон при умножении определённых многочленов. Один из них мы сейчас и рассматриваем.

Аналогичный результат получится, если будем умножать сумму двух выражений на неполный квадрат их разности.

Эти две формулы получили название разность кубов и сумма кубов соответственно.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Запомнить её несложно, если рассказать, как она записывается. Итак, в первой скобке записываем те же выражения, но без кубов. Чтобы записать вторую скобку – смотрим на первую: возводим в квадрат первое выражение, берём знак, противоположный тому, что стоит в первой скобке, умножаем первое выражение на второе и прибавляем квадрат второго выражения.

Например,

Промежуточные вычисления можно опустить, произвести их устно.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих двух выражений на неполный квадрат их разности.

Например,

Здесь также промежуточные вычисления можно произвести устно.

А теперь задание для пытливых умов. Докажите равенства:

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1. Упростить выражение:

1. Решить уравнение:

1. Найдите значение выражения:

1. Разложить на множители:

1. Разложить на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

1. Решить уравнение:

1. Разложить на множители:

1. Упростить выражение:

1. Решить уравнение:

1. Разложить на множители:

3