Разные задачи на дроби и проценты
Задача 1. Нахождение целого по его части.
В сборнике фантастики две повести. Первая занимает 35 страниц, а вторая –
книги. Сколько всего страниц в книге?
Решение:
Сначала найдем, какую часть рукописи занимает первая повесть: 1 –
, а потом целое по его части: 35 : ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_3.png)
Ответ: 49 страниц.
Задача 2. Нахождение целого по его процентам.
Летом на дачу с детским садом выехали 180 детей. Известно, что 10% детей не поехали на дачу. Сколько всего детей в детском саду?
Решение:
Выразим в процентах число детей, которые поехали на дачу:
100% - 10% = 90% и продолжим решение.
Способ 1.
Составим пропорцию:
180 детей – 90%
х детей – 100%
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_4.png)
Способ 2.
Если 90% - это 180 детей, то 10% в 9 раз меньше, т.е. 20 детей, а 100% - это 200 детей.
Способ 3.
180 детей составляют 90%, т.е. 0,9 всех детей. Найдем целое по его части:
180 : 0,9 = 1800 : 9 = 200.
Ответ: 200 детей.
Задача 3. Выражение остатка через часть целого.
На пошив детской одежды ушел весь рулон ткани. Из
рулона сшили куртки, из четверти рулона – юбки, из оставшихся 24 м сшили несколько брюк. Сколько всего метров ткани было в рулоне?
Решение:
Найдем, из какой части всего рулона сшили куртки и юбки:
. Теперь понятно, что на пошив брюк осталась часть, равная 1 –
рулона, которая составляет 24 м. Значит, во всем рулоне было 24 :
Ответ: 64 м.
Задача 4. Выражение остатка процентами целого.
Андрей за работу над новым проектом получил премию. Он истратил часть денег на подарки: 5% - родителям, 10% - жене, 7% - сыну и у него осталось
11700 р. Какую сумму денег составила премия?
Решение:
Выразим в процентах количество денег, оставшихся от премии:
100% - (5% + 10% + 7%) = 100% - 22% = 78%.
Способ 1.
Составим пропорцию:
11700 р. – 78%
х рублей – 100%
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_9.png)
Способ 2.
78 % выражаются дробью 0,78. Вычислим целое по его проценту:
11700 : 0,78 = 1170000 : 78 = 15000(р)
Ответ: 15000 рублей.
Задача 5. Выражение величины частью целого.
Оля истратила треть имевшейся у нее суммы денег, а потом еще 100 р. В итоге она истратила половину суммы. Сколько денег было у Оли первоначально?
Решение:
Сначала узнаем, какую часть всей суммы составляет 100 р.:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_10.png)
Теперь мы знаем, что 100 р. – это
всей суммы. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти целое по его части, т.е. 100 разделить на
. В данном случае можно попросту 100 р. умножить на 6. Получим, что у Оли было 600 р.
Ответ: 600 р.
Задача 6. Выражение величины процентами целого.
Среди участников кросса 35% студенты, остальные – старшеклассники, причем их на 252 человека больше, чем студентов. Сколько спортсменов участвует в кроссе?
Решение:
Старшеклассники составляют 100% - 35% = 65% участников кросса. Найдем, на сколько процентов больше старшеклассников, чем студентов: 65% - 35% = 30%. Эти 30% составляют 252 человека.
Способ 1.
Составим пропорцию:
252 человека – 30%
х человек – 100%
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_13.png)
Способ 2.
30% выражаются десятичной дробью 0,3. Вычислим целое по его проценту: 252 : 0,3 = 2520 : 3 = 840 (чел.).
Ответ: 840 человек.
Задача 7. Часть от части целого.
Перед поездкой бак автомобиля был заполнен на
. Во время поездки была истрачена четверть имевшегося запаса бензина. Какая часть бака заполнена бензином к концу поездки?
Решение:
По условию истрачена четверть от
бака, значит, осталось
от
бака:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_18.png)
Ответ: ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/10/s_5c600bb1ab9d5/1082736_19.png)
Задача 8. Проценты от процентов целого.
Четверть тиража новой газеты раскуплена в первый же день ее выпуска, причем 64% этой газеты продано в газетных киосках. Сколько процентов всего тиража продано в газетных киосках?
Решение:
Четверть тиража новой газеты составляют его 25%. Найдем 64% от 25%:
0,25
т.е. 16%.
Ответ: 16% тиража.
Задача 9. Оставшаяся часть целого.
Ученик закрасил
круга синим цветов и
оставшейся части – желтым цветом. Какая часть круга осталась незакрашенной?
Решение:
Способ 1.
После закрашивания синим цветом остались незакрашенными 1 –
круга. Найдем
от
:
Сложим закрашенные части:
Значит, незакрашенными остались: 1 ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAE0AAAAmCAIAAAAOWIF+AAADRUlEQVR4nO2YPUiqYRTH+5BIEiMhIaTARs2GkAx00yJcokEKxKQb1HYlJGppCMwhavGjsCJUKsEcLCUhSIloiGgIhCKLHIrARYvCsKgOCSGalM97tG7X/3R85PzP+9P3PF+0l5eXkv9AtO9+gAKpyJmLHA6H2+1+enoaGhrq6OhA8UxVWVlZ6kcGg3F7e5uTAwLn7OysxWIZHx9/eHhQq9UALBKJqNumCn6+ubm5ZOzz+VwuV64OCJwmk2l5ebmlpQXieDxuNpvROd8hQYuLi8PDw7k6IHCGw2E+n5+MZTLZzMwMdc9sikQiJycnEokk10QETi6Xe3V11djYCDGHw4GYumc22Ww2pVJJkIjAOTY21tfXNzIyArPFwcEBdCl1z2yyWq1bW1sEiQicKpUqGo0uLS3RaLSmpqbq6mrqnh9qd3e3oaEBXhmCXJx15e+bIDg7O/N6vSiemYIZqL+/nywXeZ+wvr7e2dmJ65kULJh+v39hYYEsHYFTLpevrq5WVFTAPwmLyv7+PnXPTK2srHR1dUEVsnQEzouLC+iZ0tJSmO43Nzdra2upe2YKXtr5+XnidATO4+Nj6iaf6vDwkEp6cR+fB21vb7e3t3/4VXl5+ePjY/5KF5RTKpU+Pz8XsuK7cuaE+Yas0tcvLvJRIp0z7aT3ru/6H7CUzvkpD5X7pC/2Zz6urIr9+c9KLBbv7e2lDVLihN0sHMdOT09TB8/PzzUaTSAQgFcRjqZHR0cFLpEJWULMeX9/r9fr6+rq4ICSOh6Lxbq7uycmJtbW1m5ubnp6esj80UsQclZVVU1OTpa8nchSxw0Gw8DAADwHxHQ6fWdnh8wfvQRyf3o8HofDgeuJUgKZExppcHAwGAwmEgmj0ahSqXD9iUsgc0JTjY6OCoXCyspKnU4HLaRQKH5CCWROaKrW1taamhqItVqtSCRC5yQrgcwJs/zl5WXyIZhMZiQSwfUnLoHMKZPJNjY2BAIBxKFQKHmp+xNKIHPC8t3W1sZisTgcztTUFEwYuP7EJQg5r6+ve3t7kzcmbDabx+M5nU4I6uvrfT7f9PT03d3dnzeR+aOXIOSEbUq2Bbq5udlut5PZ5q/EL9zHf6gi5+/SK6Q+mPacjLkLAAAAAElFTkSuQmCC)
Способ 2.
После закрашивания синим цветом остались незакрашенными
круга. После закрашивания желтым цветом остались незакрашенными 1 –
оставшейся части. Найдем
от
:
.
Ответ:
круга.
Задача 10. Оставшиеся проценты целого.
Автомобиль прошел 40% пути, а затем 30% оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?
Решение:
Способ 1.
После того как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось еще пройти:
100% – 40% = 60% пути. Найдем 30%, т.е. 0,3 от 60%: 60
%. Значит, всего автомобиль прошел 40% + 18% = 58% пути и ему осталось пройти
100% – 58%=42% пути.
Способ 2.
После того как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось еще пройти 60% пути. А когда он пройдет 30% оставшегося расстояния, то ему останется пройти 70% оставшегося расстояния. Найдем 70%, т.е. 0,7 от 60:
60
%.
Ответ: 42%.
Задача 11. Сложение процентов.
В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимаются в спортивных секциях, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?
Решение:
Число мальчиков и девочек в школе одинаково, а значит, в школе 50% мальчиков и 50% девочек. Найдем 16%, т.е. 0,16 от 50%: 50
%. Найдем 28%, т.е. 0,28 от 50%: 50
%. Сложим проценты: 8% + 14% = 22% - столько процентов составляют учащиеся школы, которые занимаются в спортивных секциях.
Ответ: 22% школьников.
Задача 12. Уменьшение (увеличение) на несколько процентов.
На весенней распродаже в одном магазине товар уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. На ярмарке тот же товар уценили сразу на 45%. Где выгоднее покупателю купить эту вещь?
Решение:
Товар выгоднее купить там, где он дешевле. В магазине после двух уценок цена товара составит 0,6
его первоначальной цены, а на ярмарке – 0,55 первоначальной цены. Так как 0,57 0,55, то правильный ответ: на ярмарке.
Ответ: на ярмарке.
Задача 13. Сравнение величин.
Во время распродажи кресло, стоившее 3000 р., продавали за 2400 р. На сколько процентов была снижена цена кресла на распродаже?
Решение:
Способ 1.
На сколько рублей новая цена меньше старой? На 3000 – 2400 = 600 рублей. На какую часть была снижена цена кресла? На
, что составляет 20%
Способ 2.
Какую часть новая цена составляет от старой?
, т.е. 80%. А это значит, что цена снижена на 100% – 80% = 20%.
Способ 3.
Составим пропорцию:
3000 р. – 100%
2400 р. – х%
![](data:image/png;base64,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)
100% – 80% = 20%.
Ответ: цена снижена на 20%.
Задача 14. Отношение процентов.
Отношение числа девочек в школе к числу мальчиков равно 4 : 5. Какую часть составляют девочки от числа всех учащихся школы? А мальчики? Выразите ответ в процентах.
Решение:
Если отношение числа девочек в школе к числу мальчиков равно 4 : 5, то число девочек составляет 4 части, а мальчиков 5 частей, а число всех учащихся школы – 9 таких же частей. Поэтому девочки от числа всех учащихся школы составляют
, а мальчики
.
Ответ: примерно 44% и 56%.
Задача 15. «Потери», выраженные в процентах.
При сушке яблоки теряют 75% своей массы, т.е. ту часть влаги, которая из нее выпаривается. Сушеные яблоки содержат 20% влаги. Какова влажность свежих яблок?
Решение:
Масса сушеных яблок составляет 100% – 75% = 25% массы свежих яблок, и она содержит 0,25
т.е. 5% влаги. Таким образом, влажность свежих яблок 75% + 5% = 80%.
Ответ: 80% массы.
Задача 16. Концентрация раствора.
Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, содержащий 20% сахара?
Решение:
Способ 1.
Определим, сколько сахара в данной массе сиропа: 180
Теперь найдем, сколько граммов 20-процентного сиропа получится, если взять 45 г сахара: 45 : 0,2 = 225 (г). Таким образом, в данную массу сиропа надо добавить
225 – 180 = 45 (г) воды.
Способ 2.
Решим задачу методом «стаканчиков».
25% 0% 20%
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAsCAYAAAD1s+ECAAAACXBIWXMAAA7nAAAOqgHvbT+qAAAArklEQVR4nO2TQQ6AIBAD14T/f3mlMSRqRPEgbItzIByHZkhm5kZKwuHO6Z+y+JJxtgdk5215Vn75UZQPS9U9eocz//KsaMizdF96x11jeUYO8tHT2ScDdJZnQ0s+avfn3oHW8kzoyUfr/qp3oLc8C1X5KOnUkgGayzOgKz+6+7vege7y0dGWH9X9U+9Ae/nINMn3TqclGaC/fFTmkO/VfWvvYI7lIzKP/Nfdv+kdrOwheZdW13pLAAAAAElFTkSuQmCC)
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAsCAYAAAD1s+ECAAAACXBIWXMAAA7nAAAOqgHvbT+qAAAArklEQVR4nO2TQQ6AIBAD14T/f3mlMSRqRPEgbItzIByHZkhm5kZKwuHO6Z+y+JJxtgdk5215Vn75UZQPS9U9eocz//KsaMizdF96x11jeUYO8tHT2ScDdJZnQ0s+avfn3oHW8kzoyUfr/qp3oLc8C1X5KOnUkgGayzOgKz+6+7vege7y0dGWH9X9U+9Ae/nINMn3TqclGaC/fFTmkO/VfWvvYI7lIzKP/Nfdv+kdrOwheZdW13pLAAAAAElFTkSuQmCC)
+ =
180 г х г (180 + х) г
Составим уравнение:
4500 = 3600 + 20х
20х = 900
![](data:image/png;base64,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)
х = 45
Ответ: 45 г.