Разные решения одной задачи

Разные способы решения одной задачи

Задача: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 3 дм, а основание треугольника равно 8 дм. Найдите две другие медианы этого треугольника.

В Дано: ∆АВС, АВ = ВС, ВН= 3 дм – медиана, АА₁ – медиана

АС = 8 дм.

А₁ Найти: АА₁

Решение:

А Н С

1 способ:

Так как медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны, то найдем только медиану АА₁.

1. ВН – медиана и высота в равнобедренном треугольнике;

2. ∆ВСН – прямоугольный (египетский), поэтому ВС = 5 дм (ВН= 3дм, НС = 4 дм);

3. cos∟С = = 0,8 (дм);

4. АА₁² = АС² + СА₁² - 2 АС ∙ СА₁ cos∟С = 64 + 6,25 - 2∙8∙2,5∙0,8 = 38,25

АА₁ = (дм).

2 способ:

Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке.

у

В(0; 3)

А₁(2; 1,5)

А(-4; 0) Н(0; 0) С(4; 0) х

1. Вершины треугольника и точка Н, согласно условию задачи, имеют следующие координаты: А(-4; 0), В(0; 3), С(4; 0), Н(0; 0);

2. А₁(2; 1,5) (по формуле координат середины отрезка)

3. АА₁ = (дм) (по формуле расстояния между двумя точками)

3 способ:

В D

А Н С

1) ВН – медиана и высота в равнобедренном треугольнике;

∆ВСН – прямоугольный (египетский), поэтому ВС = 5 дм (ВН= 3дм, НС = 4 дм);

АВ = BC = 5 дм;

2) Продолжим медиану АА₁ на расстояние А₁D = АА₁ и построим отрезки ВD и СD. В полученном четырехугольнике АВDС точка А₁ пересечения диагоналей АD и ВС делит каждую из них пополам, следовательно, АВDС – параллелограмм;

3) АD² + ВС² = АВ² + ВD² + DС² + АС² , АD² = АВ² + АС² + ВD² + DС² - ВС² = 153;

АD = (дм);

4) АА₁ = АD = = (дм).