Разработка урока

Алгебра (7) Дата : 27.11.2024

Урок № 35

Тема урока : Свойства степени с натуральным показателем.

Образовательная цель: рассмотреть свойства степени, расширить представление учащихся о применении знаний работы со степенями в математических расчётах.

Развивающая цель: развить познавательный интерес учащихся, наблюдательность, логику, память, внимание.

Воспитательная цель: точность аккуратность математической записи.

Тип урока. Урок усвоения новых знаний и умений.

Метод. Словесный, беседа, рассказ

Ключевые слова: степень,основание,показатель.

Литература 1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Ход урока

1. Организационный момент

*проверка посещаемости;

*проверка готовности к уроку;

Проверка д/з выборочно.

Актуализация опорных базовых знаний

1.Понятие степени числа.

2.Свойства степеней.

3. Степени используют для:

1.Записи произведения одинаковых множителей;

2.Записи формул

площади квадрата, объема куба,

площади полной поверхности куба;

3.Запись больших чисел (используют степень числа 10):

Мотивация учебной деятельности. Мы продолжаем изучать свойства степеней с натуральным показателем.

Формирование умений, навыков. Как читается запись. Запись aⁿ читается как: а в степени n или n-ая степень числа a. Следующие записи можно произносить по-разному:

a²– её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;

a³ – её можно произносить « а в кубе» или « а в третьей степени».

Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:

степенью числа а с показателем  n = 1 является само это число:

a¹ = a;

любое число в нулевой степени равно единице:

a⁰ = 1;

ноль в любой натуральной степени равен нулю:

0ⁿ = 0;

единица в любой степени равна 1 , но не -1. = 1; = - 1;

1ⁿ = 1.

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.

Примеры. Возведём в степени:

(−91)⁰ = 1

0¹⁴⁴ = 0

1²³⁶ = 1.

При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

2.Рассмотрим несколько примеров.

Возведём в степень

2⁵ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

2,5³ = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625

Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.

Например, (-2)⁵. Ответ будет отрицательным, так как показатель степени, 5- нечётное число. (-2)⁵ = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -32.

(-5)⁴. А вот в этом примере ответ будет положительным, так как показатель степени, 4 – чётное число.

(-5)⁴ = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.

Рассмотрим такой пример: 4² ∙ 5² = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5)² = 20² = 400.

Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:

aⁿ∙ bⁿ = (a ∙ b)ⁿ

Приведём еще такой пример: 5² ∙ 5⁵ = (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5⁷.

Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е.

aⁿ ∙ a^m = a^n+m

Наконец, рассмотрим равенство:

(7²)³ = (7 ∙ 7)³ = (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 7⁶.

Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.

(aⁿ)^m = a^n∙m

aⁿ∙ a^m = a ^n+m  и  aⁿ∙bⁿ = (a ∙ b)ⁿ

5⁴ ∙ 5¹¹ ∙ 4² ∙ 4¹³ = 5¹⁵ ∙ 4¹⁵ = (4 ∙ 5)¹⁵.

Верный ответ: (4 ∙ 5)¹⁵

3.Запись больших чисел (используют степень числа 10):

• Расстояние от Земли до Солнца – 150 млн. км = 1,5· км.

• Расстояние от Земли до ближайшей звезды Альфа Центавра – 4·  км.

• Радиус земного шара – 6,37·  м.

• В одном грамме воды – 3,35·  молекул.

• ЭВМ за 1 секунду может произвести  операций.

Подведение итогов урока. Анализ работы в классе. Оценивание.

Рефлексия.

Домашнее задание: Решить задачу. Сколько весит воздух?

Определим, во сколько раз масса земного шара больше массы окружающего его воздуха, зная, что на каждый квадратный сантиметр земной поверхности воздух давит с силой 1 кг.

• 5,1 ·  ·  =5,1 ·   ( ) – во всей поверхности земного шара (столько же кг весит атмосфера Земли)

2) 5,1 ·   : = 5,1 ·   (т) - весит атмосфера Земли

3) (6 ·   ):(5,1 ·  ) ~ =  ( в миллион раз)

Земля. Масса земного шара равна 6 ·   т, 1т =

S поверхности = 5,1 · кв.км, 1 км =  см, 1 кв.км =  =   .