Разработка урока

Геометрия 7 класс                                          Дата : 06.12.2024

Урок № 26

Тема урока : «Равнобедренный и равносторонний треугольники»

Образовательная цель: дать понятие равнобедренного, равностороннего треугольника; формулировка и доказательство теоремы о свойствах равнобедренного треугольника; рассмотреть признаки равнобедренного треугольника; задачи на измерения и вычисления в равнобедренном треугольнике.

Развивающая цель: развивать внимание, мышление учащихся;

развивать самостоятельность учащихся, используя  проблемные ситуации, развивать познавательный интерес к предмету.

Воспитательная цель: воспитывать чувство взаимоуважения; воспитывать у учащихся навыки учебного труда.

Тип урока: Комбинированный

Метод. Словесный, беседа, рассказ

Литература : Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Оборудование: мел, доска, тряпка

ХОД УРОКА

Организационный момент . проверка посещаемости:

Проверка готовности к уроку.

Вступительное слово учителя. Сегодня мы узнаем, свойства медианы в прямоугольном треугольнике.

Актуализация знаний учащихся. Фронтально-индивидуальный опрос по элементам в треугольнике 4-5 вопросов.

Биссектриса угла треугольника – это отрезок делящий угол треугольника наполовину.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Мотивация учебной деятельности. Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.

Сообщение темы,цели, задачи урока.

Формирование умений и навыков на осмысление темы урока.

Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.

Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

AB = BC.

∆ABC – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

AB и BC – боковые стороны ∆ABC.

AC – основание ∆ABC.

Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.

AB = BC = AC.

∆ABC – равносторонний.

Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано:

ΔABC – равнобедренный.

BC – основание.

Доказать: ∠B = ∠C.

Доказательство:

1. Проведем биссектрису АF.

2. ∆ABF = ∆ACF (т.к. AF – общая сторона); ∠BAF = ∠CAF (AF –по определению биссектрисы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника).

3. ∠B = ∠C.

Теорема доказана.

Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.

Теорема.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.

Дано:

ΔABC – равнобедренный

BC– основание ΔABC

AF– биссектриса ΔABC

Доказать: AF – медиана и высота.

Доказательство:

1. ∆ABF = ∆ACF (т.к. AF – общая сторона); ∠BAF = ∠CAF (AF – по определению биссектрисы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → BF = FC как соответствующие элементы равных треугольников.

2. F – середина BC → AF – медиана (по определению медианы треугольника).

3. ∠AFB =∠AFC (как соответствующие элементы равных треугольников), их сумма равна градусам (по свойству развернутого угла).

4. ∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты). Теорема доказана.

Справедливы и следующие утверждения.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Дано: ΔABC – равнобедренный

BC– основание ΔABC

AF – медиана ∠ВАС ΔABC

Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.

Доказательство:

∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) = AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).

∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна (по свойству развернутого угла).

∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).

Теорема доказана.

Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.

Разберем задачу на доказательство.

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

Дано:

∆ ABС: АМ – медиана ∆ABC. AМ = ВМ.

Доказать:

∠А = ∠В + ∠С.

Доказательство:

По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).

Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.

Что и требовалось доказать.

Закрепление, разбор решения задачи.

Задача 1.

Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.

Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

АС = АВ = х + 4 (по условию).

Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,

50 = (х + 4) + (х + 4) + х,

50 = 3х + 8,

3х = 50 – 8,

3х = 42,

х = 14 см – основание BC.

Ответ: 14 см.

Задача 2. На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = . Найдите ∠2.

Р ешение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = , значит: ∠АСВ = – =

АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = (углы при основании равнобедренного треугольника равны). ∠2 = ∠ВАС = (как вертикальные углы).

Ответ: ∠ 2 = .

Итог урока

Домашнее задание:

«Решение задач по планиметрии»

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Задание 1

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶: ∠𝐵 = 81°,∠𝐶 = 25°. Найдите внешний угол при вершине A. Ответ дайте в градусах.

Решение: Согласно теореме о внешнем угле треугольника, ∠B+∠C= внешнему углу при вершине A, следовательно А _внеш= 81° + 25° = 106°.

Ответ:

Задание 2

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶: ∠𝐴 = 22°, внешний угол при вершине C равен 130°. Найдите ∠B. Ответ дайте в градусах.

Решение: Согласно теореме о внешнем угле треугольника, ∠A+∠B = Cвнеш, тогда 22° + ∠𝐵 = 130°, откуда находим ∠𝐵 = 130° − 22° = 108°.

Ответ:

Задание 3

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶: ∠𝐶 = 70°,𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Найдите ∠B. Ответ дайте в градусах. Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда ∠A=∠C=70° .

2. Так как у любого треугольника сумма углов равна 180°, то ∠𝐵 = 180° − 70° − 70° = 40°.

Ответ: 40°.

Задание 4

В треугольнике ABC: ∠A = 39°, BD – биссектриса, ∠ABD = 30°. Найдите ∠C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как BD – биссектриса, то ∠ABD=∠DBC, тогда ∠ABC=2⋅30°=60°.

2. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠C = 180° − ∠A − ∠ABC = 180° − 39° − 60° = 81°.

Ответ: 81°.

Задание 5

В треугольнике ABC: ∠𝐵 = 90°, BD – биссектриса, AB=BC, AC=6. Найдите BD.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда 𝐷𝐶 = 0,5 ⋅ 𝐴𝐶 = 3.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда ∠𝐷𝐶𝐵 = ∠𝐵𝐴𝐶 = 90°: 2 = 45°.

3. Так как BD – биссектриса, то ∠𝐷𝐵𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 45°, то есть в ∆ DBC углы при основании 𝐵𝐶 равны, тогда треугольник 𝐷𝐵𝐶 – равнобедренный и 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 = 3. Ответ: 3

Задание 6

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. По условию ∠𝑀𝐴𝑃 = 14°. 2. Так как 𝐴𝑃 – биссектриса и ∠𝐴 = 90°, то ∠𝐶𝐴𝑃 = 45°, следовательно, ∠𝐶𝐴𝑀 = 45° − 14° = 31°. 3. Тогда ∠𝐶 = 90° − 31° = 59°. 4. Следовательно, ∠𝐵 = ∠𝐶𝐴𝑀 = 31° – наименьший угол треугольника ABC.

Ответ: 31°

Задание 7

В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Федеральный образовательный сервис.

Решение: 1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 + ∠𝐵 = 180° − ∠𝐶 = 180° − 58° = 122°. 2. Заметим, что ∠𝐴𝑂𝐵 = 180° − (∠𝑂𝐴𝐵 + ∠𝑂𝐵𝐴) = 180° − 0,5(∠𝐴 + ∠𝐵) = 180° − 0,5 ⋅ 122° = 119°.

Ответ: 119°.

Задание 8

В △ABC AH – высота, BD – биссектриса, O – точка пересечения прямых AH и BD, угол ABD равен 62∘. Найдите угол AOB. Решение: 1. Так как BD – биссектриса, то ∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐵𝐷 = 62°. 2. ∠𝐻𝐵𝑂 = ∠𝐶𝐵𝐷 = 62° − как вертикальные. 3. ∠𝑂𝐻𝐵 = ∠𝐴𝐻𝐵 = 90 ∘. 4. Следовательно, ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐻𝑂𝐵 = 90° − ∠𝐻𝐵𝑂 = 90° − 62° = 28° (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90∘). Ответ: 28

Задание 9

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶: ∠𝐶 = 40°,∠𝐵 = 110°,𝐴𝑀 – биссектриса, 𝑁 – такая точка на 𝐴𝐶, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁. Найдите ∠𝐶𝑀𝑁. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠𝐵𝐴𝐶 = 180° − ∠𝐵 − ∠𝐶 = 180° − 110° − 40° = 30°.

2. Так как AM – биссектриса, то ∠𝑀𝐴𝑁 = ∠𝐵𝐴𝑀 = 15°.

3. Треугольники ABM и ANM равны по двум сторонам и углу между ними, тогда ∠𝐵𝑀𝐴 = ∠𝐴𝑀𝑁. 4. ∠𝐵𝑀𝐴 = 180° − ∠𝐵𝐴𝑀 − ∠𝐵 = 180° − 15° − 110° = 55°, тогда ∠𝐵𝑀𝑁 = 2 ⋅ ∠𝐵𝑀𝐴 = 110°. 5. Тогда ∠𝐶𝑀𝑁 = 180° − 110° = 70°.

Ответ:

Задание 10*

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на стороне 𝐴𝐶 (но не совпадает с точкой 𝐴 или точкой 𝐶), причём 𝐶𝑀 = 𝑀𝐵. Кроме того, 𝐶𝐵 = 𝑀𝐵. Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника 𝐴𝐵𝐶. Ответ дайте в градусах. Решение:

1. Так как 𝐶𝑀 = 𝑀𝐵 = 𝐵𝐶, то треугольник 𝑀𝐵𝐶 – равносторонний, тогда ∠𝑀𝐶𝐵 = 60°.

2. . Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол, равный 60°, не может быть большим и не может быть меньшим углом треугольника.

3. Треугольник ABC не равносторонний (так как A не совпадает с M), причём ∠𝐴𝐶𝐵 = 60°, тогда один из углов A и B больше 60°, а другой меньше 60°. 4. Таким образом, ∠𝐴 + ∠𝐵 = 180° − 60° = 120° – искомая сумма углов. Ответ:

Задание 11*

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 при вершинах 𝐴, 𝐵 и 𝐶 построено по одному внешнему углу. Найдите сумму этих внешних углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 2. Тогда внешний угол при вершине A равен ∠𝐵 + ∠𝐶 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶. Аналогично внешний угол при вершине B равен ∠𝐴 + ∠𝐶 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶, внешний угол при вершине C равен ∠𝐴 + ∠𝐵 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶. 3. Таким образом, сумма внешних углов равна ∠𝐵 + ∠𝐶 + ∠𝐴 + ∠𝐶 + ∠𝐴 + ∠𝐵 = 2(∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶) в треугольнике ABC, но эта сумма есть удвоенная сумма углов треугольника. 4. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то сумма внешних углов равна 180° ⋅ 2 = 360°. Ответ: 360°.