Разработка урока

ТВиС (11) Дата: 22.09.2025

Урок № 4

Тема: Выборочный метод исследований

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Выборочный метод исследований — статистический метод, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой её части (выборке) на основе случайного отбора. Совокупность исследуемых объектов называется генеральной совокупностью, а часть объектов, подлежащих изучению, — выборочной совокупностью. 

Необходимость выборочного метода может быть вызвана:

• Обширностью объекта исследования — например, исследование потребительских предпочтений на рынке продукта, прогноз результатов голосования на выборах.

• Необходимостью в сборе первичной информации в «пилотных» исследованиях.

Суть

Задача выборочного метода — дать верное представление о показателях всей генеральной совокупности на основе данных её части, попавшей в выборку. Это позволяет: 

• Сократить затраты на проведение наблюдения, так как отбирается только часть единиц.

• Изучить явление более глубоко и детально — при сокращении объёма работы обследование можно провести по более широкой программе.

Виды

Некоторые виды выборочного метода:

• Вероятностная выборка — каждый элемент генеральной совокупности имеет известную ненулевую вероятность попадания в выборку. Например, простая случайная выборка (каждый элемент совокупности имеет равную вероятность быть отобранным).

• Систематическая выборка — отбор элементов через фиксированный интервал после случайного старта, например, каждый 10-й элемент из списка.

• Стратифицированная (расслоённая) выборка — совокупность разделяется на непересекающиеся группы (страты), из каждой формируется отдельная выборка.

• Кластерная выборка — совокупность разделяется на группы (кластеры), случайно отбираются несколько кластеров, внутри которых изучаются все элементы.

 Правила формирования

Основная проблема — обеспечение репрезентативности — соответствия характеристик выборки характеристикам генеральной совокупности. Для этого необходимо соблюдать определённые правила, например: 

• Использовать основу выборки — полный список или перечень элементов генеральной совокупности.

• Использовать объективные механизмы случайного отбора.

• Минимизировать систематические ошибки при сборе данных.

Ошибки

Выборочные исследования всегда содержат неоднородные ошибки: 

• Случайные — ошибки, вызванные тем фактом, что исследуется не вся генеральная совокупность. Уменьшаются при увеличении размера выборки.

• Систематические — ошибки, связанные с влиянием систематических факторов, которые приводят к смещениям оценок параметров, определяемых по выборке.

Некоторые преимущества выборочного метода по сравнению с другими методами:

• Экономия ресурсов. Выборочный метод позволяет сократить объём работы, что снижает материальные, финансовые, трудовые и временные затраты на исследование. 

• Скорость получения результатов. Объём работы по сбору и обобщению результатов обследования меньше, поэтому результаты можно получить быстрее, чем при сплошном наблюдении. 

• Возможность детального изучения каждой единицы. Так как наблюдению подвергается лишь часть элементов общей совокупности, есть возможность расширить программу обследования и более широко изучить каждую единицу в отдельности. 

• Высокая достоверность получаемой информации. При относительно небольшом объёме выборки можно организовать эффективный контроль качества и снизить вероятность появления и необнаружения ошибок регистраци

• Широкая область применения. Небольшой объём выборки позволяет использовать более сложные методы обследования, включая применение различных технических средств. 

• Использование в случаях, когда сплошное наблюдение невозможно. Например, в ситуациях, когда наблюдение связано с уничтожением или порчей обследуемых единиц (проверка качества продуктов питания).

Некоторые недостатки выборочного метода:

• Ошибки репрезентативности. Они возникают из-за того, что наблюдаются не все единицы изучаемой совокупности. В результате выборочные данные не полностью совпадают с данными обработки генеральной совокупности. 

• Вероятность ложных результатов. Даже правильно составленная выборка может дать ложные результаты, если её объём слишком мал. С другой стороны, слишком большой объём выборки грозит исследователю огромными затратами. 

• Необходимость привлечения высококвалифицированного персонала. Это ведёт к увеличению стоимости обследования. 

• Трудности с определением объекта и единицы наблюдения. Это особенно сложно при изучении явлений, единицы которых отличаются высокой подвижностью. 

• Отсутствие единой научной терминологии. Это приводит к неоднозначным трактовкам

Актуализация базовых знаний

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1 – наблюдалось n1 раз, x2 - n2 раз, ... xk - nk раз. n=n1+n2+...+nk – объем выборки.

Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Числа наблюдений называются частотами (абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки – относительными частотами или статистическими вероятностями.

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений).

Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Аналогично можно представить точечный вариационный ряд относительных частот.

Задача 1.

Число букв, соответствующих гласным звукам, в некотором тексте Х оказалось равным 1000. Первой встретилась буква «я», второй – буква «и», третьей – буква «а», четвертой – «ю». Затем шли буквы «о», «е», «у», «э», «ы».

Выпишем места, которые они занимают в алфавите, соответственно имеем: 33, 10, 1, 32, 16, 6, 21, 31, 29.

После упорядочения этих чисел по возрастанию получаем вариационный ряд: 1, 6, 10, 16, 21, 29, 31, 32, 33.

Частоты появления букв в тексте: «а» – 75, «е» –87, «и» – 75, «о» – 110, «у» – 25, «ы» – 8, «э» – 3, «ю» – 7, «я» – 22.

Составим точечный вариационный ряд частот:

Задача 2.

Задано распределение частот выборки объема n = 20.

Составьте точечный вариационный ряд относительных частот.

Решение.

Найдем относительные частоты:

При построении интервального распределения существуют правила выбора числа интервалов или величины каждого интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время на их обработку. Разность xmax−xmin между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стреджесса (подразумевая округление до ближайшего удобного целого): k=1+3,322lgn.

Соответственно, величину каждого интервала h можно вычислить по формуле:

H=xmax−xmin1+3,322lgn

Рассмотрим некоторую выборку из генеральной совокупности. Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: nx – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота события Х nxn. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота nxn - есть функция от х. Т.к. она находится эмпирическим (опытным) путем, то она называется эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию, определяющую для каждого х относительную частоту события Х

Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события Х F∗(x) - относительную частоту этого же события. Для составления эмпирической функции распределения берется не вся генеральная совокупность, а выборка, и вероятность pi заменяется относительной частотой p∗i. При большом n F∗(x) и F(x) мало отличаются друг от друга.

Т.о. целесообразно использовать эмпирическую функцию распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

F∗(x) обладает всеми свойствами F(x).

1. Значения F∗(x) принадлежат интервалу [0; 1].

2. F∗(x) - неубывающая функция.

3. Если x – наименьшая варианта, то F∗(x)=0, при хx1 ; если xk – наибольшая варианта, то F∗(x)=1, при хxk.

Т.е. F∗(x) служит для оценки F(x).

График эмпирической функции называется кумулятой.

Кумулята имеет такой же вид, как и график теоретической функции распределения.

Если задан интервальный вариационный ряд, то для составления эмпирической функции распределения находят середины интервалов и по ним получают эмпирическую функцию распределения аналогично точечному вариационному ряду.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения: полигон и гистограммы

Полигон частот - это ломаная, отрезки которой соединяют точки (x1;n1), (x2;n2),..., (xk;nk), где (xi) - варианты, (ni) – соответствующие им частоты.

Гистограмма частот -это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны плотности частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал. (Например, при измерении роста человека или веса, мы имеем дело с непрерывным признаком).

Пример:

Даны результаты изменения напряжения (в вольтах) в электросети. Составьте вариационный ряд, постройте полигон и гистограмму частот, если значения напряжения следующие: 227, 215, 230, 232, 223, 220, 228, 222, 221, 226, 226, 215, 218, 220, 216, 220, 225, 212, 217, 220.

Решение.

Составим вариационный ряд. Имеем n=20, xmin=212, xmax=232.

Применим формулу Стреджесса для подсчета числа интервалов.

k=1+3.322lg20≈5.

H=xmax−xmink=232−2125=4

Интервальный вариационный ряд частот имеет вид:

Построим гистограмму относительных частот

Построим полигон частот, найдя предварительно середины интервалов:

Задание:

Пример точечного вариационного ряда может быть представлен таблицей: