Разработка урока

Г(8) Дата: 23.09.2025

Урок №7

Тема: Трапеция

Образовательная: ввести понятие трапеции и её элементов, познакомить учащихся с  равнобедренной и прямоугольной трапециями, рассмотреть некоторые свойства равнобедренной трапеции и научить учащихся примнять полученные знания в процессе решения   задач.

Развивающая: развивать творческую активность учащихся, их познавательный  интерес.

Воспитательная: совершенствовать умения сплочённо и дружно работать в  коллективе.

Тип урока. Урок новых знаний

Метод. Словесный, беседа, рассказ

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку. Формирование групп.

2. Постановка цели урока:

- Мы с вами продолжаем знакомиться с четырехугольниками.

Предлагаю вам рассмотреть ряд четырехугольников.Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные стороны – боковыми сторонами.
Если один из углов трапеции прямой, то она называется прямоугольной. Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной трапецией (равнобокой).
Сформулируем и докажем свойства равнобедренной трапеции:
Свойство первое: в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Для доказательства проведём отрезок CK, параллельный AB.

CK || AB, ABCK – параллелограмм (стороны попарно параллельны), значит AB = CK, но AB = CD (трапеция равнобедренная), значит CK = CD, треугольник KCD – равнобедренный,
По свойству равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2.

∠2 = ∠3 (соответственные при секущей AD и параллельных AB и CK). Следовательно, ∠1 = ∠3.
ABC = 180° − ∠3 = 180° − ∠1 = ∠BCD.
Второе свойство равнобедренной трапеции: диагонали равнобедренной трапеции равны.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, BC || AD
Доказать: AC = BD.

Для доказательства рассмотрим треугольники ABC и DCB. Треугольники ABC и DCB равны (AB = CD, BC – общая сторона, ∠ABC = ∠DCA). Следовательно, AC = BD.
Теоремы, обратные свойствам равнобедренной трапеции, также верны. Это признаки равнобедренной трапеции.
Признак первый: если углы при основании трапеции равны, то трапеция является равнобедренной.
Дано: ABCD – трапеция, BC || AD
∠BAC = ∠CDA
Доказать: ABCD – равнобедренная трапеция

Для доказательства проведем отрезок CK, параллельный AB.
Доказательство:
CK || AB, следовательно ABCK – параллелограмм, тогда AB = CK, ∠A = ∠CKD.
Получится равнобедренный треугольник CKD (∠A = ∠CKD и ∠A = ∠CDA), поэтому
CK = CD и AB = CK = CD. Следовательно, ABCD – равнобедренная трапеция.
Второй признак: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.
Дано: ABCD –трапеция, BC || AD
AC = BD
Доказать: ABCD – равнобедренная трапеция

Составим план доказательства второго признака, опираясь на который можно провести доказательство самостоятельно.
Проведем отрезок CK, параллельный BD.

Трапеция — это геометрическая фигура, у которой две противоположные стороны параллельны и называются основаниями трапеции, а другие две стороны не параллельны и называются боковыми сторонами трапеции. 

Высота трапеции — это перпендикуляр, о пущенный из одной из точек одного основания на противоположное основание.

📌

Площадь трапеции можно найти по формуле:

Площадь = (1/2) ∙ (основание₁​ + основание₂) ∙ высота.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон, она всегда параллельна основаниям и равна их полусумме. 

1. 

2. Диагонали трапеции — это отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры.

Равнобедренная (равнобокая) трапеция

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. В такой трапеции углы при основаниях также равны. Это особое свойство позволяет использовать равнобедренные трапеции в различных задачах на симметрию и равенство углов.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Для равнобедренной трапеции характерны следующие свойства:

1. Равенство углов при основаниях: углы, прилежащие к одному основанию, равны.

2. Равенство диагоналей: диагонали равнобедренной трапеции равны.

Пример: если ABCD — равнобедренная трапеция, где AB и CD — основания, то AD = BC, ∠A = ∠B и ∠C = ∠D, а диагонали AC и BD равны.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция — это трапеция, в которой один из углов между основанием и боковой стороной равен 90 градусам. Это также особый случай трапеции, где высота совпадает с одной из боковых сторон трапеции.

Свойства и признаки прямоугольной трапеции

Основные свойства прямоугольной трапеции включают:

1. Наличие прямого угла: один угол между основанием и боковой стороной равен 90 градусам.

2. Перпендикулярность боковой стороны и основания: одна из боковых сторон является высотой трапеции.

3. Равенство углов: углы, смежные с прямым углом, дополняются до 90 градусов.

Пример: в трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если ∠A = 90° и ∠D = 90°, то трапеция является прямоугольной.

Г(8) Дата: 26.09.2025

Урок № 8

Тема: Трапеция. Решение задач.

Образовательная: ввести понятие трапеции и её элементов, познакомить учащихся с  равнобедренной и прямоугольной трапециями, рассмотреть некоторые свойства равнобедренной трапеции и научить учащихся примнять полученные знания в процессе решения   задач.

Развивающая: развивать творческую активность учащихся, их познавательный  интерес.

Воспитательная: совершенствовать умения сплочённо и дружно работать в  коллективе.

Тип урока. Урок новых знаний

Метод. Словесный, беседа, рассказ

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку. Формирование групп.

2. Постановка цели урока: Решение задач

Задача 1. Дано: в трапеции ABCD основания AB и CD равны 8 см и 12 см соответственно, а высота трапеции равна 6 см. Найдите площадь трапеции. Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
Площадь = (1/2) ∙ (основание₁​ + основание₂) ∙ высота.

Подставим значения:
Площадь = (1/2) ∙ (8 + 12) ∙ 6 = (1/2) ∙ 20 ∙ 6 = 60 см².

Таким образом, площадь трапеции равна 60 см².

Задача 2. Дано: равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB = 10 см, CD = 6 см, а боковая сторона трапеции AD = 5 см. Найдите высоту трапеции. Решение:

В равнобедренной трапеции, если провести высоты из вершин боковых сторон к большему основанию, образуются два прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной боковой стороне трапеции. Обозначим высоту как h и половину разности оснований как x. Тогда по теореме Пифагора:

x² + h² = AD²; Поскольку x = (AB — CD)/2 = (10 — 6)/2 = 2 см, получаем:

2² + h² = 5²
4 + h² = 25
h² = 21
h = √21 см

Задача 3

Дано: в прямоугольной трапеции ABCD, где AB = 6 см, DC = 12 см, BC = 10 см, угол D равен 90°. Найдите длину боковой стороны AD.

Решение:

Построим высоту BH из точки B на сторону DC. Тогда BH = AD, DH = AB = 6 см (противоположные стороны прямоугольника ABHD).

Тогда отрезок HC = DC − DH = 12 − 6 = 6 см.

По теореме Пифагора для треугольника BHC:

AD² = BH² = BC² — HC²

Подставим значения:

AD² = 10² — 6²
АD² = 100 — 36
AD² = 64
AD = √64 = 8 см

Таким образом, боковая сторона AD равна 8 см.

Задача 4

Дано: трапеция ABCD с основаниями AB = 12 см и CD = 16 см и высотой 5 см. Найдите длину средней линии.

Решение:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Формула для средней линии: Средняя линия = (AB + CD) / 2

Подставим значения: Средняя линия = (12 + 16) / 2 = 28 / 2 = 14 см

5.Подведение итогов урока. Рефлексия.
Ребята, что нового вы узнали на уроке?
Что было особенно интересно?
На что еще необходимо обратить внимание?

6.Домашнее задание
П. 44, записи в тетрадях, № 388(б), № 390.