Разработка урока

ТВиС (10) Дата:

Урок № 7

Тема: Пересечение, объединение множеств и событий, противоположные события. Формула сложения вероятностей

Образовательная цель: формировать представления о случайном опыте , эксперименте ; повтоить пересечение, объединение множеств и событий, противоположные события; дать формулу сложения вероятностей

Развивающая цель: развитие логики, памяти, внимания; активизация мыслительной деятельности.

Воспитательная цель: точность, аккуратность математической записи

Тип урока. Комбинированный.

Метод. Словесный, беседа, рассказ.

Литература /основная/

Ход урока

1. Организационный момент.

2. .Актуализация знаний

Случайный опыт (случайный эксперимент) – это условия и обстоятельства, в которых мы рассматриваем случайные события.

Если случайное событие не относится к рассматриваемому эксперименту, то оно не является событием этого эксперимента.

Получается, что случайный эксперимент оканчивается каким-либо элементарным событием. Какое именно элементарное событие наступит в данном опыте – дело случая. Два разных элементарных события вместе произойти не могут.

Элементарные события образуют множества, которые называют случайными событиями. Само по себе элементарное событие можно рассматривать как множество из одного элемента.

Пустое случайное событие – это случайное событие, которое не содержит ни одного элементарного события.

Такое событие называют невозможным.

Достоверное случайное событие – это множество всех элементарных событий в эксперименте. Таким образом, можно считать, что достоверное событие – это сам случайный эксперимент.

Случайные события можно разными способами сочетать друг с другом, образовывая при этом новые случайные события.

1. Мотивация учебной деятельности

Сегодня мы с вами поговорим :

1.Противоположных случайных событиях.

Рассмотрим некоторый случайный опыт и элементарные события, которые возникают в этом опыте.

Давайте разобьём все элементарные события на два множества. Пусть первое множество образует случайное событие  . Тогда остальные элементарные события благоприятствуют другому событию, которое называют противоположным событию   и обозначают  .

Событие, противоположное событию   – это множество всех элементарных событий, которые не принадлежат событию  .

Если событие   противоположно событию  , то событие   противоположно событию  . Поэтому события   и   называют взаимно противоположными.

Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик.

Событие   – «выпадет меньше 4 очков».

Этому событию благоприятствуют элементарные события: «выпадет 1 очко», «выпадет 2 очка», «выпадет 3 очка».

Не благоприятствуют событию   элементарные события: «выпадет 4 очка», «выпадет 5 очков», «выпадет 6 очков». Все эти элементарные события благоприятствуют событию   – «выпадет 4 очка и больше».

Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому можно записать так: «Сумма вероятности события   и вероятности события   равна 1».

Также можно сказать, что для нахождения вероятности противоположного события следует из 1 вычесть вероятность самого события. То есть имеют место равенства.

Запомните! Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице.

ПРИМЕР.

Какова вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика во второй раз выпадет не то же число очков, что в первый раз?

Решение. Пусть событие   – «при двукратном бросании игрального кубика во второй раз выпадет не то же число очков, что в первый раз».

Этому событию благоприятствует много элементарных событий. Поэтому проще найти вероятность противоположного события   – «оба раза выпадет одно и то же число очков».

Данный эксперимент может окончиться одним из 36 равновозможных элементарных событий, которые удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек. Номер строки – результат первого броска. Номер столбца – результат второго броска.

Событию   благоприятствуют 6 элементарных событий из 36.

Вероятность события   равна частному элементарных событий, которые благоприятствуют событию  , и всех равновозможных элементарных событий рассматриваемого опыта.

Тогда вероятность события   равна разности 1 и вероятности события  .

Соотношения между событиями удобно изображать с помощью диаграмм Эйлера.

Давайте весь случайный эксперимент, то есть все элементарные события опыта, изобразим прямоугольником. Тогда если событие   изображено кругом внутри прямоугольника, то оставшаяся часть прямоугольника изображает противоположное событие  .

Достоверное и невозможное события взаимно противоположны.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. В случайном эксперименте 10 элементарных событий. Событию   благоприятствуют 8 из них. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию  ?

Итак, событие   и событие   – взаимно противоположные события.

Известно, что в случайном эксперименте 10 элементарных событий. Событию   благоприятствуют 8 из них. Тогда событию   благоприятствуют 2 элементарных события ( .

Ответ: 2 элементарных события благоприятствуют событию  .

Задание второе. В некотором случайном эксперименте может произойти событие  . Найдите вероятность события  , если вероятность события   равна:

Решение. Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1.

Задание третье. Могут ли события   и   быть взаимно противоположными, если:

Решение. Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице.

2."Объединение и пересечение событий"

Объединение случайных событий   и   – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий   и  .

Пересечение случайных событий   и   – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют и событию  , и событию  .

ПРИМЕР.  Продавец выбирает два платья, чтобы поместить их на витрину магазина. В ассортименте есть красные и чёрные платья.

Элементарные события этого случайного эксперимента – это пары платьев (красное платье и чёрное платье, два красных платья, два чёрных платья, чёрное платье и красное платье).

Пусть событие   состоит в том, что первое платье красного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события: «красное платье и чёрное платье» и «два красных платья».

Событие   состоит в том, что второе платье красного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события: «чёрное платье и красное платье» и «два красных платья».

Объединение событий   и   состоит в том, что хотя бы одно из платьев красного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события: «красное платье и чёрное платье», «два красных платья», «чёрное платье и красное платье».

Пересечение событий   и   состоит в том, что оба платья красные. Этому событию благоприятствует элементарное событие «два красных платья».

Объединение и пересечение событий   и   можно изобразить на диаграмме Эйлера.

Пусть один круг изображает событие  , а второй – событие  . Тогда фигура, состоящая из обоих кругов, – это объединение событий   и  . Пересечение событий   и   изображается общей частью кругов.

Пример. Игральный кубик бросают 2 раза. Пусть событие   – «при первом броске выпало больше 3 очков», а событие   – «при втором броске выпало больше 3 очков».

Результаты эксперимента удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результат второго броска.

Событие   состоит в том, что при первом броске игрального кубика выпало больше 3 очков. Покажем в таблице это событие зелёными крестиками.

Событие   состоит в том, что при втором броске игрального кубика выпало больше 3 очков. Покажем в таблице это событие синими крестиками.

Объединение событий   и   состоит в том, что хотя бы один раз выпало больше 3 очков. Пересечение событий   и  состоит в том, что оба раза выпало больше 3 очков.

Если события   и   не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в одном и том же эксперименте. Такие события называют несовместными, а их пересечение – невозможным, или пустым, событием.

События   и   называются несовместными, если их пересечение не содержит элементарных событий.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0. На диаграмме Эйлера несовместные события изображаются в виде двух непересекающихся кругов.

Например, при бросании игрального кубика события «выпало чётное число очков» и «выпало нечётное число очков» являются несовместными.

События «наступило утро» и «наступил вечер» тоже являются несовместными.

В одном и том же году события «1 сентября приходится на понедельник» и «1 сентября приходится на пятницу» также являются несовместными.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. На диаграмме Эйлера показано число элементарных событий, благоприятствующих каждому из событий   и  . Сколько элементарных событий благоприятствуют событию  ?

Решение.

Объединение случайных событий   и   – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий   и  .

Тогда событию   благоприятствуют 30 элементарных событий.

Задание второе. Событию   благоприятствуют 15 элементарных событий. Событию   благоприятствуют 20 элементарных событий. Из этих 20 элементарных событий 8 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте соответствующую диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.

Решение.

3."Формула сложения вероятностей. Случай, когда события несовместны"

Пример. Игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим событие   – «в первый раз выпало больше очков, чем во второй» и событие   – «в первый раз выпало меньше очков, чем во второй».

Изобразим результаты этого случайного эксперимента с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результата второго броска.

Событие   состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Выделим в таблице это событие зелёным цветом.

Событие   состоит в том, что в первый раз выпало меньше очков, чем во второй. Выделим в таблице это событие синим цветом.

У событий   и   нет общих элементарных событий. Следовательно, события   и   несовместны.

Чему равна вероятность объединения событий   и  ?

События   и   равновозможны. Событию   благоприятствуют 15 элементарных событий. Событию   также благоприятствуют 15 элементарных событий. Общее число элементарных событий рассматриваемого случайного эксперимента равно 36.

Вероятность объединения событий   и   найдём как частное суммы элементарных событий, благоприятствующих событиям   и  , и общего числа элементарных событий.

Эту дробь можно разбить на два слагаемых.

Получается, что вероятность объединения двух событий оказалась равной сумме вероятностей этих событий. Это свойство верно для любых двух несовместных событий в любом случайном опыте.

4.Правило сложения вероятностей двух несовместных событий.

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. События   и   несовместны. Найдите вероятность объединения этих событий, если известны их вероятности.

Решение.

Задание второе. Бросают игральный кубик. Событие   – «выпало нечётное число очков». Событие   – «выпало чётное число очков». Если события   и   несовместны, найдите вероятность их объединения.

Решение.

1. "Формула сложения вероятностей. Общий случай"

Ребята, прежде чем сформулировать общее правило сложения вероятностей, напомним правило сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Если события   и   не являются несовместными, то есть они совместны и могут наступить в результате одного эксперимента, то к ним нельзя применить правило для несовместных событий. Давайте убедимся в этом на примере.

Игральный кубик бросают 2 раза. Рассмотрим событие   – «в первый раз выпало больше 4 очков» и событие   – «во второй раз выпало больше 4 очков».

Изобразим результаты этого случайного эксперимента с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результата второго броска.

Событие   состоит в том, что в первый раз выпало больше 4 очков. Выделим в таблице это событие зелёным цветом.

Событие   состоит в том, что во второй раз выпало больше 4 очков. Выделим в таблице это событие синим цветом.

Видим, что событию   благоприятствуют 12 элементарных событий. Событию   благоприятствуют тоже 12 элементарных событий. При этом обратите внимание, что 4 элементарных события являются общими, поскольку события А и Б совместны. Объединению событий   и   благоприятствуют 20 элементарных событий. Общее число элементарных событий рассматриваемого случайного эксперимента равно 36.

Давайте найдём сумму вероятностей событий   и  .

Обратите внимание, что сумма вероятностей событий   и   не равна вероятности объединения событий   и  .

Получается, что данная формула в этом случае неверна. Тогда давайте будем разбираться.

Изобразим события   и   на диаграмме Эйлера.

Рассмотрим событие   – «наступило событие   но не наступило событие  » и событие   – «наступило событие  , но не наступило событие  ».

На диаграмме Эйлера видно, что событие   и пересечение событий   и   несовместны. Вместе эти события образуют событие  .

Поэтому по правилу сложения вероятностей для несовместных событий можем записать, что  .

Также на диаграмме Эйлера видно, что событие   и пересечение событий   и   несовместны. Вместе эти события образуют событие  .

Поэтому по правилу сложения вероятностей для несовместных событий можем записать, что  .

Сложим полученные равенства.

Откуда получаем, что  .

Правило сложения вероятностей. Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения.

Полученная формула справедлива для любых двух событий   и  , в том числе для несовместных, поскольку в случае несовместных событий вероятность пересечения событий   и   равна 0.

Задание первое. Найдите вероятность объединения событий   и  , если известны их вероятности и вероятность их пересечения.

Решение. Обратите внимание, что в обоих случаях вероятность пересечения событий   и   не равна 0. Это значит, что события   и   совместны.

Чтобы выполнить данное задание, воспользуемся правилом сложения вероятностей.

Задание второе. Чему равна вероятность пересечения событий   и  ,  ,  , а  ?

Решение. Чтобы выполнить это задание, воспользуемся правилом сложения вероятностей. Выразим из формулы вероятность пересечения событий   и  . Подставим данные в условии значения и выполним вычисления.

Задание третье. В торговом центре рядом друг с другом стоят два банкомата. Вероятность того, что в течение дня в первом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,3. Вероятность того, что купюры закончатся во втором банкомате, равна 0,2. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность того, что в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном банкомате.