Разработка урока

ТВиС (10)

Урок №10. Формула полной вероятности. Вероятность произведения независимых событий.

Образовательная цель : рассмотреть теорему умножения вероятностей; формулу полной вероятности;вероятность произведения двух и более независимых событий.

Актуализация знаний.

1.Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

2.Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

3.Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

4.Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

5.Гипотеза – одно из событий, которые могут привести к появлению данного события.

Мотивация учебной деятельности.

Формула полной вероятности

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B₁, B₂, B₃, …, B_n, которые образуют полную группу. Будем называть события B₁, B₂, B₃, …, B_n гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B₁), P(B₂), P(B₃), …, P(B_n) и соответствующие условные вероятности наступления события А P_B1(A), P_B2(A), P_B3(A), …, P_Bn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A) = P(B₁)·P_B1(A) + P(B₂)·P_B2(A) + P(B₃)·P_B3(A) +…+ P(B_n)·P_Bn(A).

Задача.

Студент из n билетов знает ответы лишь на m билетов. Найдите и сравните вероятности событий, что студент сдаст экзамен, взяв билет первым, студент сдаст экзамен, взяв билет вторым.

Решение.

Если студент берет билет первым, то вероятность равна m/n (по классическому определению вероятности).

Если студент берет билет вторым, тогда возможны две гипотезы: В₁ - первый отвечающий забрал «хороший билет», В₂ - первый отвечающий забрал «плохой билет». Р(В₁)=m/n, Р(В₂)=(n-m)/n. По формуле полной вероятности

, где Р(А) – вероятность сдать экзамен, идя вторым.

Вероятности равны.

Вспомним теорему произведения вероятностей в общем виде.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB)=P(A)∙P_A(B)

Отметим, если события независимы, получаем выражение теоремы произведения вероятностей независимых событий: P(AB)=P(A)·P(B).

Введём формулу полной вероятности.

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B₁, B₂, B₃, …, B_n, которые образуют полную группу. Будем называть события B₁, B₂, B₃, …, B_n гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B₁), P(B₂), P(B₃), …, P(B_n) и соответствующие условные вероятности наступления события А P_B1(A), P_B2(A), P_B3(A), …, P_Bn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A)=P(B₁)·P_B1(A)+P(B₂)·P_B2(A)+P(B₃)·P_B3(A)+…+
+P(B_n)·P_Bn(A)  

Формирование умений и навыков.

Пример. В некотором населённом пункте 56 % населения составляют жители женского пола, из которых 45 % работают. Какую часть жителей населённого пункта составляют работающие женщины?

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно число умножить на эту дробь.

Предположим, что в населённом пункте всего   жителей. Тогда   – число жителей женского пола.

Умножив эту величину на 0,45, получим число работающих женщин.

 – число работающих женщин.

Теперь можем найти долю работающих женщин.

Обратите внимание, что общая численность жителей, по сути, в решении не участвует. Результат получился умножением 0,56 на 0,45.

Эту задачу можно сформулировать, указывая не доли, а вероятности.

Рассмотрим случайный эксперимент, в котором из всех жителей случайным образом выбирается один.

Пусть событие   – «выбранный житель окажется женского пола». Событие   – «выбранный житель работает».

Вероятность события   равна доле женского населения, то есть равна 0,56. Вероятность события   неизвестна. Но известна вероятность этого события при условии, что выбран житель женского пола, – это доля работающих женщин, то есть 0,45. Это условная вероятность события   при условии  . В нашем случае она равна 0,45.

Теперь вместо того, чтобы спросить, какую часть жителей населённого пункта составляют работающие женщины, спросим, какова вероятность события «выбранный житель – работающая женщина».

Другими словами, нам нужно найти вероятность пересечения событий   и  , то есть вероятность того, что выбранный житель окажется женского пола и при этом работает.

Применим правило, о котором мы вспоминали выше. Вот только теперь множителями являются не доли, вероятности.

Дадим определение условной вероятности.

Вероятность события   при условии, что событие   произошло, называется условной вероятностью события   при условии  . Обозначают:  .

Правило умножения вероятностей. Вероятность пересечения событий   и   равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого.

Это правило можно проиллюстрировать с помощью цепи, около рёбер которой записаны вероятности.

Такое изображение наглядно (нам нужно просто умножать вероятности вдоль цепи в графе случайного эксперимента).

Несмотря на то, что правило умножения мы получили при рассмотрении примера, оно верно для любых случайных событий в любых случайных экспериментах.

Пример. В непрозрачном мешке лежат 6 зелёных и 4 жёлтых шара. По очереди извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что сначала появится зелёный шар, а затем – жёлтый?

Конечно, можно построить довольно обширное множество элементарных событий (пар шаров) и разбираться, сколько из них благоприятствуют появлению сначала зелёного шара, а затем – жёлтого. Но так как это неудобно, ответим на вопрос иначе.

Пусть событие   – «первый шар оказался зелёного цвета».

После того, как это случилось, в коробке остаётся 5 зелёных и 4 жёлтых шара, то есть всего 9 шаров.

Пусть событие   – «второй шар оказался жёлтого цвета».

Надо найти вероятность того, что оба события произошли, то есть вероятность пересечения событий   и  . Для этого применим правило умножения вероятностей.

Пример. В торговом центре рядом друг с другом стоят два банкомата. Вероятность того, что к концу дня закончатся денежные купюры в каждом отдельном банкомате, равна 0,2. В обоих банкоматах купюры могут закончиться к концу дня с вероятностью 0,1. В конце рабочего дня пришёл специалист по обслуживанию банкоматов и обнаружил, что во втором банкомате купюры закончились. Какова теперь вероятность, что и в первом банкомате уже нет купюр?

В первую очередь обозначим события.

Пусть событие   – «денежные купюры закончились в первом банкомате», событие   – «денежные купюры закончились во втором банкомате».

Нужно найти условную вероятность события   при условии  .

По условию  ,  .

Вспомним правило умножения вероятностей и выразим из него вероятность, которую нужно найти. Подставим соответствующие значения.

Из условия известно, что  . Но это было до того, как мы узнали, что во втором банкомате закончились купюры. Теперь вероятность события   выросла до 0?5тых. А всё потому, что как только во втором банкомате закончились купюры, посетители торгового центра стали пользоваться только первым банкоматом.

Рассмотрев этот пример, мы получили формулу условной вероятности.

Если вероятность события   больше 0, то

Закрепление

Задание 1

Игральный кубик бросают 2 раза. В первый раз выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков будет равна 9.

Решение.

Задание 2. В случайном эксперименте есть события   и  . Найдите вероятность пересечения этих событий, если известно, что  ,  .

Решение.

Задание 3

В ящике комода, который стоит в тёмной комнате, лежат 10 розовых и 10 фиолетовых носков одного размера. По очереди извлекают 2 носка. Какова вероятность того, что сначала появится розовый носок, а затем – фиолетовый?

Решение.

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

- Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

- Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

- Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Закрепление

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решение.

А – первый шар окажется черным

В - второй шар красный

С - третий шар белый

. 

Ответ: 4/91.

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

Решение.

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Подведение итогов урока

Домашнее задание: