Разработка урока

А(8)

Урок №49 Дата : 12.01.2026

Тема: Теорема Виета – это классическое утверждение, связывающее корни многочлена и его коэффициенты. Сформулирована французским математиком Франсуа Виета в 16 веке.

Квадратное уравнение — это уравнение в виде: аx² + bx + c = 0.

Где: a — первый коэффициент, не равный нулю;b — второй коэффициент;

• c — свободный член.

Квадратное уравнение может иметь один корень, два различных корня или не иметь корней.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором первый коэффициент равен 1.

Дискриминант (D) – это все корни многочлена.

Порядок вычисления дискриминанта:

D = b² − 4ac.

Как рассчитываются корни:

• D = 0, есть один корень;

• D 0, есть два различных корня;

• D

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта:

D₁=k²−ac. Где k=b/2.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Формула Виета

Формула Виета выглядит так:

а𝑥² + b𝑥 + c=0,𝑥1⋅𝑥2 =c;𝑥1 +𝑥2 = −b

где a, b и c являются действительными числами, а x – неизвестная величина.

Теорема Виета

Формулировка теоремы Виета:

Сумма корней многочлена равна отрицательному коэффициенту при старшей степени этого многочлена, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно коэффициенту при свободном члене.

Доказательство теоремы

Ниже приведено доказательство теоремы Виета.

Дано:

Квадратное уравнение: x² + bx + c = 0.

D 0

Доказать:

Уравнение имеет два корня, их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x₁ + x₂ = −b,

x₁ * x₂ = c.

Доказательство будет состоять из двух частей, отдельно для каждого уравнения.

Доказательство, что x₁ + x₂ = −b:

• Для нахождения суммы корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней.

• В данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент (а) равен единице. Значит после подстановки формулы дискриминанта знаменатель будет равен 2.
  

• В правой части уравнения произведем объединение числителя и знаменателя.
  

• Приведем подобные члены, раскрыв скобки и произведем сокращение:
  

• После сокращения полученной дроби на 2, останется −b:
  

• Таким образом, мы доказали, что x₁ + x₂ = −b.

Доказательство, что x₁ * x₂ = c:

• Вместо x₁ и x₂ подставляем соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
  

• Получилось, что числитель содержит произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся формулой (a + b) * (a − b) = a2 − b2. В результате получим:
  Далее произведем трансформации в числителе:
  

• Подставим формулу дискриминанта – D = b² − 4ac в получившееся выражение:
  

• Приведем подобные члены, раскрыв скобки и сократив:
  
  
  

• Теперь получившееся выражение можно еще раз сократить и получить с.

• Мы доказали, что x₁ * x₂ = c.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Примеры и задачи

Рассмотрим несколько конкретных примеров и задач с применением теоремы Виета.

Пример 1.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0, где

• 1 – первый коэффициент;

• 2 – второй коэффициент;

• 3 – свободный член.

В соответствии с теоремой Виета сумма корней уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Поскольку он равен 4, нужно использовать -4:

Произведение корней по теореме Виета соответствует свободному члену. У нас он равен 3. В соответствии с нашим примером получилась следующая система уравнений:

Произведем вычисление корней уравнения x² + 4x + 3 = 0.

Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

В итоге мы получили, что корнями приведенного квадратного уравнения являются числа −1 и −3.

Таким образом, мы доказали теорему Виета на конкретном примере.

Пример 2 Дано квадратное уравнение: х²-5х+6=0

Нужно найти корни уравнения, используя теорему Виета.

Решение: В соответствии с теоремой Виета:

х₁+х₂=5

х₁*х₂=6.

Подобрать решение просто: х₁=2, х₂=3.

Ответ: х₁=2, х₂=3