Разработка урока по алгебре на тему "Комбинаторные задачи"

Комбинаторные задачи.

Школа № 19 г.Бухары

Учитель: Джураева Д.В.

Комбинаторика

- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторные задачи.

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

В разделе представлены комбинаторные задачи на размещение, сочетание, перестановки с повторением и без повторения элементов. Используется естественный, доступный детям всех возрастов метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций).

Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 2; 5; 9?

Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:

22;25;29;(начали с 2)

52;55;59;(начали с 5)

92;95;99;(начали с 9)

Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

Реши задачи:

• Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
• В школе проводятся соревнования по хоккею .В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Сколько различных призов можно составить из этих предметов, если каждому победителю решено давать по 2 разных предмета?
• В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Решение задач с помощью дерева возможных вариантов

Существует более общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Задача.

Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7. Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов.

число

4

1

7

7

1

7

4

1

4

1

4

1

7

4

7

Ответ: числа 147;174;417;471;714;741

Решение задач с использованием дерева возможных вариантов .

• В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.
• Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана, 2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по два каких-нибудь плода?
• Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
• Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
• Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?

Правило умножения в комбинаторных задачах.

Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.

Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:

На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

Суп 2 Вторые блюда 3 Сок 4

Решение: 2 x 3 x 4 = 24

Ответ: Можно составить 24 варианта различных обедов

7

Комбинаторные задачи на умножение .

• Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?
• В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его заместителя?
• Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы этого концерта?
• В буфете есть 4 сорта пирожков. Сколькими способами ученик может купить себе 2 пирожка?
• Трое ребят должны дежурить по классу три дня подряд по одному дню каждый. Сколькими способами можно составить расписание их дежурств?

Перестановки в комбинаторных задачах.

В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называют перестановкой.

Задача.

В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение. Первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.

Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом 4 •3•2•1= 24.

Ответ: 24 способами.

Решите задачу на перестановки

Задача. Андрей, Борис и Василий входят в комнату по одному. Сколько у них есть способов это сделать?

Решение. Пусть первым войдёт Андрей, но тогда вторым может войти Борис или Василий, т.е.имеются две возможности. Аналогично есть две возможности, если первым войдёт Борис и если первым войдёт Василий. Таким образом 6 возможностей.

Ответ: 6 способов.

Ответьте на вопросы

• Что такое комбинаторика?
• Что значит решить комбинаторную задачу?
• Какие методы решения комбинаторных задач мы рассмотрели на уроке?

Существует много видов комбинаторных задач, это лишь некоторые из них.

Спасибо за внимание!