Разработка урока "Теорема Виета"

Разработка урока по теме: « Теорема Виета»

Никогда не теряй терпенья – это

последний ключ, который открывает

двери.

Антуан де Сент-Экзюпери.

Описание работы:

Конспект урока предназначен для педагогов, работающих по учебнику Алгебра, 8 Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк под редакцией С.А. Теляковского. В ходе проведения урока учащиеся проведут небольшую исследовательскую работу на установление зависимости между корнями приведенного квадратного уравнения. На данном уроке учащиеся познакомятся с теоремой Виета и будут учиться ее применять при нахождении корней квадратных уравнений.

Образовательные цели урока:

- повторить решение квадратных уравнений;

- раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами;

- изучить теорему Виета;

- рассмотрение различных заданий на применение теоремы Виета.

Развивающие цели урока:

- .Развивать и совершенствовать умения применять учащимися знания и умения в новой ситуации;

- развивать умения делать выводы и обобщения.

Воспитательные цели:

- Воспитание интереса к предмету через познавательные сюжеты из истории математики:

- воспитывать самостоятельность.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Ход урока

1.Организационный момент

Проверка готовности к уроку. Приветствие. Мы с вами изучаем квадратные уравнения и способы их решения. Сегодня мы познакомимся с еще одним методом решения квадратных уравнений.

2. Актуализация опорных знаний

- Какое уравнение называется квадратным?

- Какие существуют виды квадратных уравнений?

- Что значит решить уравнение?

- Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

- От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

4. Формирование новых знаний.

Задание.

Решить уравнение х² + 5х + 6 = 0 х=-2, х=-3

Найти сумму и произведение корней уравнения: (-2)+(-3)=-5, а (-2)*(-3)=6

– Какое квадратное уравнение вы решили?

– Какую зависимость между корнями и коэффициентами вы заметили?

(Учащиеся делают выводы)

Да, действительно, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену. Вот в этом и заключается теорем Виета.

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил

знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603)

Если х₁, х₂ – корни квадратного уравнения аx² + bx + c = 0,

то х₁ + х₂ = --  ;  х₁ ∙  х₂ = .  .

Франсуа Виет (1540-1603) – крупнейший французский математик XVI века. Юрист по образованию. Виет увлекался астрономией и занимался усовершенствованием тригонометрических таблиц. Он был советником короля Генриха III,которому помог в расшифровке переписки его врагов с испанским двором, он раскрыл тайну шифра, состоявшего из 500 знаков. Свои алгебраические идеи Виет изложил в сочинении «Введение в аналитическое искусство», в котором предложил преобразовать алгебру в мощное математическое исчисление. Виет ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры, он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

А чтобы лучше запомнить, необходимо выучить стихотворение:

Теорема Виета

Поэтом по праву должна быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого-

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь та, но что за беда:

В числителе в, в знаменателе а.

Доказательство теоремы Виета.

Для приведенного квадратного уравнения, х² + pх + g = 0, где      x₁ + x₂ = - p, а     x₁ * x₂= g. Применяя теорему Виета, результат запишем в таблицу:             

Справедливо утверждение обратное теореме Виета. Сформулируйте это утверждение

5. Формирование умений и навыков. 

1. (Устно) Выберите среди данных уравнений приведенные квадратные уравнения:

а) 2х² + 3х – 1 = 0   б) х² – х – 6 = 0       в) 3х² + 5 = 0 г) х² + 7х + 6 = 0 

2. (Устно) Чему равны сумма произведения корней уравнения:

а) х² + 7х + 6 = 0 б) х² – 8х + 12 = 0 в) х² – х – 6 = 0 

3. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения:

а) х₁ = 4; х₂ = -3                                       в) х₁ = -3; х₂ = -6

б) х₁ = 5; х₂ = -6                                       г) х₁ = 8; х₂ = 12

Применяя теорему Виета составьте квадратные уравнения по их корням.

4. Определите корни квадратного уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета

а) х² + 7х + 6 = 0

б) х² – 8х + 12 = 0

в) х² – х – 6 = 0

5. Самостоятельная работа по вариантам. После окончания работы решения проверяются с помощью проектора.

Вариант I.

1. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения. Решите уравнения (а – к), запишите корни уравнения в указанном порядке (при решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме Виета).

а) х² – 25 = 0, (5;-5)

б) х² – 3х = 0, (0;3)

в) х² – 5х + 6 = 0, (3;2)

г) х² – 12х + 35 = 0, (7;5)

д) х² – 6х = 0, (0;6)

е) х² – 2х – 35 = 0, (7;-5)

ж) х² – х – 6 = 0, (3;-2)

з) х² + 3х =0, (0;-3)

и) х² + 10х + 25 = 0, (-5;-5)

к) х² + 10х = 0, (0;-10)

2. Один из корней       уравнения х² + рх – 35 = 0 равен 7. Найдите другой корень уравнения и коэффициент р.

Вариант II.

1. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения (х_1 2). Решите уравнения (а – к), запишите корни уравнения в указанном порядке (при решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме Виета).

а) х² – 4х – 21 = 0, (-3;7)

б) х² – 10х + 21= 0, (3;7)

в) х² – 7х + 12 = 0, (3;4)

г) х² – 6х = 0, (0;6)

д) х² + 4х – 32 = 0, (-8;4)

е) х² + 6х – 55 = 0, (-11;5)

ж) х² + 16х + 55 = 0, (-11; -5)

з) х² + 12х + 32= 0, (-8; -4)

и) х² + 6х =0, (-6; 0)

к) х² – х – 12 = 0, (х₁; х₂)

2. Один из корней уравнения х² – 13x + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент q.

6.Подведение итогов:

Рефлексия. 

Ответьте на вопросы:

– Какие уравнения мы сегодня рассмотрели?

– Чему равна сумма корней квадратного уравнения?

– Чему равно произведение корней квадратного уравнения?

Продолжите фразы:

– Сегодня на уроке я узнал …

– Сегодня на уроке я научился …

– Сегодня на уроке я познакомился …

– Сегодня на уроке я повторил …

– Сегодня на уроке я закрепил … 

7.Домашнее задание.

Решить №582, 584(б),586(а,г)

8. Творческое задание

Решить уравнение: 4х² - 5х + 1 = 0 

Написать квадратное уравнение, корни которого равны: а) х₁+ 1 и х₂ + 1; б) х₁- 2 и х₂ – 2.