Разработка "В царстве математики"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1

(с углубленным изучением отдельных предметов)»

Утверждена

приказом

директора школы

от 02.09.2019 №253

Рассмотрена

на заседании МО

протокол № 1

от 28.08.2019

Рекомендована к утверждению

методическим советом

протокол № 1

от 28.08.2019

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа

Социально-педагогического направления

«В царстве математики»

Возрастная категория: 11-15 лет

Срок реализации: 2 года

Стартовый уровень

Автор-составитель:

Батурова Галина Юрьевна, учитель математики

г.Моршанск

2020г

[Введите цитату из документа или краткое описание интересного события. Надпись можно поместить в любое место документа. Для изменения форматирования надписи, содержащей броские цитаты, используйте вкладку "Работа с надписями".]

Раздел 1. «Комплекс основных характеристик программы»

1. Пояснительная записка

Обучение математике в школе способствует прочному и сознательному овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Изучение математики на занятиях математического цикла предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей. Данная программа рассчитана на детей 11-15 лет, предполагает различные виды деятельности для детей этого возраста, учитывает психо - физиологические особенности, интересы детей. Количество учащихся в группе: 15 человек. Программа рассчитана на 2 года. Общее количество часов: 1год- 36часов (1раз в неделю), 2год- 72 (2 часа в неделю).

Направленность дополнительной образовательной программы

Дополнительная образовательная программа «В царстве математики» имеет социально-педагогическую направленность. Она ориентирована на развитие познавательной активности, самостоятельности, любознательности, на дополнение и углубление школьной программы по математике, способствует формированию интереса к научно-исследовательской деятельности учащихся.

Актуальность

Слово «математика» в переводе с греческого означает «знание», «наука». Не говорит ли уже это о месте математики среди наук? Непрерывно возрастают роль и значение математики в современной жизни. В условиях научно-технического прогресса труд приобретает всё более творческий характер, и к этому надо готовиться за школьной партой. Всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики. Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом. Актуальность программы возрастает и в связи с введением и подготовкой к ОГЭ в 9 классе.

 Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека, способствует эстетическому воспитанию, пониманию красоты и изящества математических рассуждений. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания даёт возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Основная идея объединения, в котором реализуется программа – помочь учащимся, интересующимся математикой, поддержать и развить интерес к ней, а  учащимся, у которых математика вызывает те или иные затруднения, - помочь понять и полюбить её.  

Педагогическая целесообразность

Содержание занятий представляет собой несколько линий развития таких

понятий как: элементы моделирования задач, величины и их измерения, логико-математические понятия и отношения, элементы алгебры и геометрии, и все в занимательной, доступной для данной возрастной категории форме. Занятия математического цикла содействуют развитию у детей математического образа мышления, краткости речи, умелому использованию символики, правильному применению математической терминологии, и «плавной» адаптации к требованиям основной и старшей школы. У школьников появляется мотивация к обучению математики, стремление развивать свои интеллектуальные возможности. Не менее важным фактором реализации данной программы является и стремление развития у учащихся умений самостоятельно работать, думать, решать творческие задачи, а также совершенствовать навыки аргументации собственной позиции по определенному вопросу.

Отличительные особенности данной программы состоят в том, что этот курс подразумевает доступность предлагаемого материала для учащихся, планомерное развитие их интереса к предмету. Сложность задач нарастает постепенно. Приступая к решению более сложных задач, рассматриваются вначале простые, входящие как составная часть в решение трудных. Развитию интереса способствуют математические игры, викторины,  проблемные задания. Программа способствует подготовке к участию в школьных, городских олимпиадах, в популярной олимпиаде Кенгуру, что позволяет укрепить уверенность в своих силах и знаниях учащихся, развить их ум.

Адресат программы

Программа данного курса предназначена для интересующихся математикой учащихся 11-15 летнего возраста и представляет систему занятий, направленных на формирование умения нестандартно мыслить, анализировать, сопоставлять, делать логические выводы, на расширение кругозора учащихся.

Объем и срок освоения программы

Программа рассчитана на 2 учебных года. Общее количество часов: 1год- 36часов (1раз в неделю), 2год- 72 (2 часа в неделю).

Форма обучения – очная (дистанционная)

Формы организации учебной деятельности

- индивидуальная (воспитаннику дается самостоятельное задание с учетом его возможностей);

- фронтальная (работа в коллективе при объяснении нового материала или отработке определенной темы);

- групповая (разделение на мини-группы для выполнения определенной работы);

- коллективная (выполнение работы для подготовки к олимпиадам, конкурсам).

Состав группы – постоянный.

Режим занятий, периодичность и продолжительность занятий

Продолжительность занятия – 2 учебных часа (45 минут).

1. Цель и задачи программы

На первый год обучения. Цель дополнительной образовательной программы: интеллектуальное и творческое развитие учащихся средствами решения математических задач.

Задачи дополнительной образовательной программы:

Обучающие: научить учащихся

• описывать признаки предметов и узнавать предметы по их признакам;

• выделять главное и второстепенное в задачах;

• сравнивать между собой предметы, явления;

• обобщать, делать выводы;

• определять отношения между предметами, свойствами и величинами;

• классифицировать свойства, явления, предметы;

• формировать алгоритм действия;

• судить о противоположных явлениях;

• давать определения тем или иным понятиям;

• выявлять функциональные отношения между понятиями, формулами и зависимостями;

• выявлять закономерности и проводить аналогии.

Развивающие

• Развивать мыслительные процессы у ребёнка, его творческую деятельность, любознательность и познавательную активность.

• Развивать самостоятельность, аккуратность.

Воспитательные: формировать у учащихся:

• этические нормы поведения;

• правила делового общения в группе, правила сотрудничества и сотворчества.

На второй год обучения. Цель дополнительной образовательной программы: элементы подготовки к сдаче ВПР, ОГЭ, интеллектуальное и творческое развитие учащихся средствами решения тематических, межпредметного содержания, математических задач.

Задачи дополнительной образовательной программы:

Обучающие: научить учащихся

• описывать признаки предметов, знать их определения и свойства и узнавать предметы по их признакам, владеть формулами вычеслений;

• выделять главное и второстепенное в задачах;

• сравнивать и соотносить свойства фигур и предметов между собой;

• обобщать, конкретизировать и делать выводы;

• определять отношения между предметами, свойствами и величинами;

• классифицировать свойства фигур, предметов, явлений;

• формировать последовательно алгоритм действия;

• поэтапно судить о противоположных явлениях;

• определять вид, давать определения и характеристику тем или иным понятиям;

• выявлять функциональные отношения между понятиями, формулами и зависимостями;

• выявлять закономерности и проводить аналогии, как при решении задач, так и при доказательствах.

Развивающие

• Развивать мыслительные процессы у ребёнка, его творческую деятельность, любознательность и познавательную активность.

• Развивать самостоятельность, аккуратность.

Воспитательные: формировать у учащихся:

• этические нормы поведения;

• правила делового общения в группе, правила сотрудничества и сотворчества.

1. Содержание программы (первого года обучения)

Учебный план

Содержание учебного плана (первого года обучения)

Раздел 1 «Математика - точная наука»

Тема1.Вводное занятие «Математика – точная наука!» Действия с многозначными числами.

(Теория 1ч.) Вводное занятие «Математика – точная наука!» Действия с многозначными числами. Инструктаж по технике безопасности на занятиях.

Тема 2. Величины времени. Кроссворд «Единицы измерения».

(Практика 1 ч.) Задания на углубление изученного материала: «Величины времени». Кроссворд «Единицы времени». Задачи, в которых одни единицы счета выражаются через другие. 

Тема 3 Латинский алфавит и его использование в математике.

(Теория 1ч. .) Латинский алфавит и его использование в математике.

Тема 4. Плоскостные и объемные геометрические фигуры. Трансфигурация, преобразования одних  фигур в другие.

(Теория 1ч,) Плоскостные и объемные геометрические фигуры. Головоломки с палочками. Трансфигурация, преобразования одних  фигур в другие.
(Практика 2ч) Конструирование треугольников, ромба, квадрата и прямоугольника.

Тема 5. Объемные фигуры. Геометрические фигуры вокруг нас

(Теория 1ч) Задания на изучение элементов геометрии: «Объемные фигуры. Геометрические фигуры вокруг нас»

(Практика 2ч ) Построение разверток призм, конусов, цилиндров, пирамид. Разрезание фигур на равные части. Принцип зеркальности при разрезании квадратов.

Тема 6. Кроссворды «Геометрические фигуры»

(Теория 1ч) Техника составления тематических кроссвордов. .(Практика 1ч.) Кроссворды «Геометрические фигуры».

Тема 7. Математические игры. Танграм и Колумбово яйцо.

(Практика 1 ч.) Математические игры. Танграм и Колумбово яйцо.

Тема8.Олимпиадные задания: «Цепочка логических рассуждений с арифметическими вычислениями». «Числовая горизонталь»..

( Теория 1ч.) Разбор способов решения задач.

(Практика 1 ч.) Олимпиадные задания: «Цепочка логических рассуждений с арифметическими вычислениями». «Числовая горизонталь».

Тема 9. Формулы в математике и других науках.

(Теория 1ч.) Формулы в математике и других науках

.( Практика ч)Применение формул в прикладных задачах(математика, физика и др.)

Тема 10. Занимательные задачи на движение.

( Теория 1ч.) Опорные схемы в задачах на движение.

(Практика 2 ч.) Занимательные задачи на движение.

(Теория 1ч.) Задачи в рисунках.

Тема 11. Игра «Магазин». Формула стоимости покупки.

(Теория 1ч.) Задачи в рисунках.

(Практика 1 ч.) Игра «Магазин». Формула стоимости покупки.

Тема 12. Промежуточная аттестация.

(Практика 1 ч.) Контрольная работа.

Тема 13 Математические кроссворды «Арифметические действия». Нахождение суммы рядов чисел. Числовые ребусы. Приемы решения числовых ребусов.

(Практика 1 ч.) Математические кроссворды «Арифметические действия». Нахождение суммы рядов чисел. Числовые ребусы. Приемы решения числовых ребусов.

Тема 14. Комбинаторные задачи. Дерево возможностей. Перестановки. Решение задач.

(Теория 1ч.) Комбинаторные задачи. Дерево возможностей. Перестановки. Решение задач.

( Практика 1ч.) Решение задач из ВПР.

Тема 15. Из истории дробей. Задачи с дробями. Решение задач на основе составления схем. Задачи, решаемые с конца. Табличная форма записи. 

(Практика 1ч) Решение задач.

Тема 16. Математический КВН.

(Практика 1ч) Математический КВН. Представление команд, разминка, конкурс капитанов.

Математический КВН. Решение задач.

Тема 17. Олимпиадные задания «Соответствие между элементами различных множеств»

(Теория 1ч.) Олимпиадные задания: «Соответствие между элементами различных множеств».

(Практика 1ч.) Решение задач.

Тема 18. Математические ребусы и кроссворды..

(Практика 1ч.) Математические ребусы и кроссворды.

Тема 19. Известные личности в математике и физике

(Теория 1ч) Известные личности в математике и физике.

Тема 20. Проценты в жизни человека.

( Теория 1ч.) Типы задач на проценты.

(Практика 2ч.) Проценты в жизни человека.

Тема 21. Римские цифры и их использование в современном мире.

(Практика 1ч.) Чтение и запись римских чисел, решение головоломок с римской нумерацией. Решение задач.

Содержание учебного плана (второго года обучения)

Раздел 2 «Математический лабиринт»

Тема 22. Игра «Морской бой»( тематический). Метод координат.

( Теория1ч.) Разбор метода координат.

(Практика 3 ч.) Игра «Морской бой».

Тема 23. Система координат. . Простейшие задачи в координатах.

( Теория 1ч.) Простейшие задачи в координатах.

(Практика 3ч.) Система координат.

Тема 24. Координатная плоскость. Координаты вектора. Сложение и вычитание векторов.

(Теория 1ч.) Координатная плоскость.

( Практика 3ч.) . Координаты вектора. Сложение и вычитание векторов.

Тема 25. Построение фигур по заданным координатам.

( Теория 1ч.) Основные определения темы.

(Практика 4 ч.) Построение фигур по заданным координатам.

Тема 26. Шар. Сфера. Круг. Окружность. Уравнения окружности и прямой. Взаимное расположение двух окружностей.

.(Теория 1ч.) Шар. Сфера. Круг. Окружность.

(Практика 3ч.) Построение окружности. . Уравнения окружности и прямой. Взаимное расположение двух окружностей.

Тема 27 . Логические задачи. Старинные . Задачи на сплавы. Задачи на смеси. Задачи на пропорции.

(Теория 1ч.) Логические задачи. Старинные задачи.

(Практика 7ч ) Решение задач. . Задачи на сплавы. Задачи на смеси. Задачи на пропорции.

Тема 28. Диаграммы. Решение текстовых задач, практической направленности (ОГЭ №1-5).

(Теория 1ч.) Что такое диаграмма? Виды диаграмм.

(Практика 7ч.) Построение диаграмм. Решение текстовых задач, практической направленности (ОГЭ №1-5).

Тема 29.Графики. . Построение графиков (ОГЭ №11)

(Теория 1ч.) Что такое график и где он встречается в жизни. Графики в профессиях моих родителей.

( Практика 7ч) Построение графиков (ОГЭ №11)

Тема 30 . График движения. .Решение задач на движение (ОГЭ №22)

(Теория 1ч.) График движения.

(Практика 7ч.) Задачи на движение. Решение задач, в которых необходимо учитывать длину движущегося объекта. .Решение задач на движение (ОГЭ №22)

Тема 31. Задачи-шутки и задачи на внимание. . Задачи по теории вероятностей и комбинаторике.

(Практика 4ч.) Решение задач-шуток и задач на внимание.

Тема 32. Выпуск математической газеты. Бои редколлегий. Создание математических буклетов. Создание математических опорных таблиц и карточек.

(Практика 4 ч.) Выпуск математической газеты. Бои редколлегий.

Тема 33. «Знакомство» с Архимедом». Решение задач с многовариантными решениями. Задачи с физическим содержанием.

( Теория 1ч.) . Задачи с физическим содержанием.

(Практика 3 ч.) «Знакомство» с Архимедом». Решение задач с многовариантными решениями.

Тема 34. Создание задач для сюжетных математических вечеров.

( Практика 2 ч.) Создание задач для сюжетных математических вечеров.

Тема 35. Итоговая аттестация.

(Практика 4ч.). Контрольная работа.

1. Планируемые результаты (первого года обучения)

Личностными результатами изучения курса является формирование:

• этических норм поведения;

• правил делового общения в группе, правил сотрудничества и сотворчества.

Метапредметными  результатами изучения курса   являются формирование:

• результативности и самостоятельности деятельности ребенка;

• познавательной активности;

• аккуратности;

• творческого подхода к деятельности;

Предметными результатами изучения курса  являются формирование следующих умений:

• описывать признаки предметов и узнавать предметы по их признакам;

• выделять главное и второстепенное в задачах;

• сравнивать между собой предметы, явления;

• обобщать, делать выводы;

• определять отношения между предметами, свойствами и величинами;

• классифицировать свойства, явления, предметы;

• формировать алгоритм действия;

• судить о противоположных явлениях;

• давать определения тем или иным понятиям;

• выявлять функциональные отношения между понятиями, формулами и зависимостями;

• выявлять закономерности и проводить аналогии;

1. Планируемые результаты (второго года обучения)

Личностными результатами изучения курса является формирование:

• этических норм поведения;

• правил делового общения в парах, группах командах, правил сотрудничества и сотворчества.

Метапредметными  результатами изучения курса   являются формирование:

• продуктивность, результативности и самостоятельности деятельности ребенка;

• познавательной и психоэмоциональной активности;

• пунктуальности и аккуратности;

• дифференцированного творческого подхода к деятельности;

Предметными результатами изучения курса  являются формирование следующих умений:

• описывать признаки предметов, знать их определения и свойства и узнавать предметы по их признакам, владеть формулами вычислений;

• выделять главное и второстепенное в задачах;

• сравнивать и соотносить свойства фигур и предметов между собой;

• обобщать, конкретизировать и делать выводы;

• определять отношения между предметами, свойствами и величинами;

• классифицировать свойства фигур, явления, предметы;

• формировать последовательно алгоритм действия;

• поэтапно судить о противоположных явлениях;

• определять вид, давать определения и характеристику тем или иным понятиям;

• выявлять функциональные отношения между понятиями, формулами и зависимостями;

• выявлять закономерности и проводить аналогии, как при решении задач, так и при доказательствах;

Раздел №2. «Комплекс организационно-педагогических условий»

2.1.Календарный учебный график (приложение2)

Количество часов в год: 1год-36ч (1час в неделю), 2год- 72 (2часа в неделю)

Количество учебных недель – 36

Количество учебных дней – 72

Начало обучения - 1 сентября. Окончание обучения – 30 мая.

2.2. Условия реализации программы

Материально-техническое и дидактическое обеспечение

Учебный класс с естественным и искусственным освещением, стол и стул для педагога, 15 посадочных мест, включая столы, стулья для обучающихся, магнитная доска, мел, ноутбук, проектор, экран или интерактивная доска, чертёжные инструменты, ватман, канцтовары, гуашь, наглядные пособия (памятки, таблицы, геометрические фигуры), контрольные материалы, карточки с заданиями.

Информационное обеспечение

Видео-, интернет источники.

Кадровое обеспечение

Для реализации программы привлекается педагог с высшим математическим образованием.

2.3. Формы аттестации

Формы отслеживания и фиксации образовательных результатов: журнал работы педагога дополнительного образования в объединении, портфолио достижений учащихся.

Формы предъявления и демонстрации образовательных результатов: творческая презентация, защита реферата, аналитическая справка, конспект, выпуск газеты, соревнование.

Формы контроля образовательных результатов: устный опрос, зачёт, решение задач, наблюдение, анализ выступлений, оценка групповых работ, взаимоконтроль, тесты, игры.

2.4. Оценочные материалы (приложение1)

Основной формой контроля за качеством образования, воспитания и личностного развития детей, освоения дополнительных общеразвивающих программ является аттестация.

Цель аттестации

Выявление уровня развития способностей и личностных качеств детей и их соответствие прогнозируемым результатам дополнительной общеразвивающей программы «В царстве математики».

Задачи аттестации

• Определение уровня теоретической подготовки обучающихся в выбранном ими объединении

• Выявление степени сформированности практических умений и навыков обучающихся в объединении

• Анализ уровня реализации дополнительной общеразвивающей программы

• Соответствие прогнозируемых и реальных результатов учебно-воспитательной работы

• Выявление причин, способствующих и препятствующих полноценной реализации дополнительной программы.

Аттестация строится на принципах:

• учета индивидуальных и возрастных особенностей обучающихся;

• научности;

• специфики деятельности детского объединения и конкретного периода обучения;

• необходимости, обязательности и открытости проведения;

• свободы выбора педагогом методов и форм проведения и оценки результатов;

• открытости результатов для родителей.

Промежуточная аттестация - оценка степени и уровня освоения детьми дополнительной общеразвивающей программы по окончании определенного периода обучения.

Итоговая аттестация - оценка степени и уровня освоения детьми дополнительной общеразвивающей программы.

Промежуточная аттестация учащихся по программе «В царстве математики» проводится в декабре, итоговая аттестация проводится в мае.

Функции аттестации

• Учебная – создает дополнительные условия для обобщения и осмысления детьми полученных теоретических и практических знаний, умений и навыков;

• Воспитательная – является стимулом к расширению познавательных интересов и потребностей детей;

• Развивающая – позволяет детям осознать уровень их развития и определить перспективы дальнейшего развития;

• Коррекционная – помогает педагогу своевременно выявить и устранить недостатки учебно-воспитательного процесса.

Форма проведения аттестации по программе «В царстве математики» - зачет. В ходе зачёта обучающиеся выполняют контрольную работу, включающую пять заданий. Максимальное количество баллов за каждое задание – 7.

При подведении итогов аттестации учитывается 1) активность учащихся на занятиях в течение всего периода обучения по программе, 2) результативность участия воспитанников в олимпиадах и конкурсах различных уровней.

Критерии оценки результативности обучения по программе не должны противоречить следующим показателям: высокий уровень – успешное освоение обучающимся более 70% содержания образовательной программы, подлежащей аттестации; средний уровень – успешное освоение обучающимся от 50% до 70% содержания образовательной программы, подлежащей аттестации; низкий уровень – успешное освоение обучающимся менее 50% содержания образовательной программы, подлежащей аттестации.

Параметры подведения итогов

• Уровень теоретической подготовки обучающихся в конкретной программе; степень сформированности практических умений и навыков в выбранной деятельности;

• Полнота выполнения образовательной программы;

• Соответствие прогнозируемых и реальных результатов учебно-воспитательной работы;

• Выявление причин, способствующих или препятствующих полноценной реализации программы;

• Необходимость внесения корректив в содержание и методику образовательной деятельности.

2.5. Методические материалы

Педагогические технологии

В образовательном процессе по данной программе используются технологии:

• Технология проблемного обучения

• Информационные технологии

• Игровые технологии

• Компьютерные технологии

• Развивающее обучение

• Технология обучения в сотрудничестве

• Технология деятельностного подхода

Основные этапы занятия по программе «В царстве математики»

• Организационный

• Проверка имеющихся знаний, умений и готовности детей к освоению темы

• Ознакомление с новыми знаниями и умениями

• Упражнения (в том числе творческого характера)

• Подведение итогов, формулирование выводов

Показатели результативности занятия

• Опыт освоения информации

• Опыт практической деятельности

• Опыт эмоционально-ценностных отношений

• Опыт творчества

Методы обучения

• Объяснительно-иллюстративные методы (словесные, наглядные)

• Репродуктивные;

• Проблемные;

• Частично - поисковые;

• Исследовательские;

• Практические;

• Информационно – коммуникативные;

• Игровые .

Приемы обучения

• Приемы формирования и активизации отдельных операций мышления, внимания, памяти, восприятия, воображения

• Приемы, способствующие созданию проблемных, поисковых ситуаций в мыслительной деятельности школьников

• Приемы, активизирующие переживания, чувства учащихся, связанные с изучением учебного материала

• Приемы контроля, самоконтроля, самообучения школьников

• Приемы управления в учебном процессе коллективными и личными взаимоотношениями учащихся.

• Практические занятия с элементами игр и игровых элементов, дидактических и раздаточных материалов, ребусов, кроссвордов, головоломок

• Лекции с элементами беседы

• Практические работы

• Контрольные работы

• Игровые программы

• Групповая творческая работа

• Выпуск газеты

• Экскурсия «в прошлое»

Основные виды деятельности учащихся

• Решение занимательных задач

• Оформление математической газеты

• Знакомство с научно-популярной литературой, связанной с математикой

• Самостоятельная работа

• Работа в парах, в группах

• Творческие работы

• Решение задач математической школьной и городской олимпиад, международной игры «Кенгуру».

Методическое обеспечение (первого года обучения)

2.6. Список литературы

Для педагога

1. Примерные программы внеурочной деятельности. Начальное и основное образование. Под редакцией В.А.Горского. М. «Просвещение» 2011г.

2. Внеурочная деятельность школьников. Методический конструктор.М. «Просвещение» 2011г.

3. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

4. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Задачи для внеклассной работы по математике (5-11 классы): Учеб. Пособие, 2-е изд., испр. М.: Издат-школа, 2000.

5. Руденко В.Н., Бахурин Г.А., Захарова Г.А. Занятия математического кружка в 5-ом классе. М.: Издательский дом «Искатель», 1999.

6. Седьмой турнир юных математиков Чувашии: 5-11 классы. Чебоксары, 2003.

7. Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 6 класса. СПб.: СМИО Пресс, 2002.

8. Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. М.: Посев, 2003.

9. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. 3-е изд., испр. и доп. М.: Айрис-пресс, 2004.

10. Фарков А.В. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. М.: Дрофа, 2003.

11. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2000.

12. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003.

Для учащихся

1. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002

2. Зайкин М.И. Математический тренинг: Развиваем комбинационные способности: Книга для учащихся 4-7 классов общеобразовательных учреждений. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1996.

3. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

4. Лоповок Л.М. Математика на досуге: Кн. для учащихся средн. школьного возраста. М.: Просвещение, 1981.

5. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5-7 кл. М.: Просвещение, 2002.

Приложение1

Промежуточная аттестация учащихся

Контрольная работа

1. Плитки двух видов были выложены на стене в шахматном порядке.

Несколько плиток упали со стены. Оставшиеся плитки изображены на рисунке. Сколько полосатых плиток упало? Обязательно объясните свой ответ.

2. Произведение 100 ×100 представили в виде суммы десяток:

100 ×100 =10 +10 + ...+10.

Сколько получилось слагаемых? Обязательно объясните свой ответ.

3. Маугли попросил пятерых обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали орехов поровну и понесли Маугли. По дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую другую по одному ореху. В результате они принесли Маугли вдвое меньше орехов, чем собрали. Сколько орехов получил Маугли? Обязательно объясните свой ответ.

4. На картинке мы видим четырёх детей: Колю, Васю, Сеню и Яна. Известно, что мы видим Сеню правее Коли, а Коля дал Васе левую руку. Найдите, как кого зовут, и объясните, почему Вы так считаете.

5. У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому покупателю нужно 70 наклеек, а второму и третьему —по 60 наклеек. Как продавцу отсчитать каждому покупателю нужное числонаклеек за 70 секунд, если за одну секунду он отсчитывает ровно одну наклейку?

Решения и критерии проверки промежуточной аттестация учащихся

1. Плитки двух видов были выложены на стене в шахматном порядке.

Несколько плиток упали со стены. Оставшиеся плитки изображены на рисунке.

Сколько полосатых плиток упало? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ. 15.

Решение.

Способ 1. Дорисуем клеточки и посчитаем.

Способ 2. Посмотрим на число выпавших клеток по рядам: во втором сверху

выпало 2 плитки, из них 1 полосатая, в третьем — 5 плиток, из них

2 полосатые, в четвертом — 7 плиток (3 полосатых) и т. д. Всего рядов пять,

значит, выпало

1 + 2 + 3 + 4 + 5=15 плиток.

Способ 3. Если бы плитки не выпали, то на исходной картинке в нечётных

рядах было бы 6 полосатых, а в чётных 7 полосатых. Вычитаем из каждого ряда

имеющиеся полосатые плитки и складываем недостающие в каждом ряду.

(6 − 6) + (7 − 6) + (6 − 4) + (7 − 4) + (6 − 2) + (7 − 2) + (6 − 6) =

= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 0 = 15.

Критерии проверки.

· Любое верное решение — 7 баллов.

· Решение, состоящее из строчки 1 + 2 + 3 + 4 + 5=15 без пояснений, — 5 баллов.

· Верный ход решения в способах 2 или 3, но ответ неверный из-за

арифметической ошибки — 4 балла.

· Только верный ответ (без дорисованного рисунка) — 2 балла.

2. Произведение 100 ×100 представили в виде суммы десяток:

100 ×100 =10 +10 + ...+10.

Сколько получилось слагаемых? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ. 1000.

Решение.

1)100 · 100 = 10000 — значение данного произведения.

2)10000 : 10= 1000 — количество одинаковых слагаемых.

Второе действие школьники могут записать и так: 10 ×1000 =10000 . Критерии проверки

· Любое верное решение — 7 баллов.

· Решение, состоящее только из арифметических действий — 5 баллов.

· Только верный ответ — 2 балла.

3. Маугли попросил пятерых обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали орехов поровну и понесли Маугли. По дороге они поссорились, и каждая

обезьяна бросила в каждую другую по одному ореху. В результате они

принесли Маугли вдвое меньше орехов, чем собрали. Сколько орехов получил

Маугли? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ. 20 орехов.

Решение.

Каждая обезьяна бросила 4 ореха, значит, всего обезьяны выбросили вместе

5 · 4 = 20 орехов.

Если осталась половина орехов, значит, Маугли принесли столько же орехов,

сколько бросили, то есть 20 орехов.

Критерии проверки.

· Верное решение — 7 баллов.

· Очень кратко записанное решение (типа «5 · 4 = 20 орехов, а так как поло-

вина, то 20 орехов») — 5−6 баллов.

· В целом верный ход мысли, но ученик считает, что каждая обезьяна

выбросила 5 орехов, и получает неверный ответ — 2 балла.

· Только верный ответ — 2 балла.

4. На картинке мы видим четырёх детей: Колю, Васю, Сеню и Яна. Известно, что мы видим Сеню правее Коли, а Коля дал Васе левую руку. Найдите, как кого зовут, и объясните, почему Вы так считаете.

Ответ.

Решение.

Коля не может быть на картинке самым правым, так как мы видим Сеню правее

его. Но Коля не может быть и самым левым, так как самый левый мальчик

никого не держит левой рукой. Если Коля второй справа, то он дал левую руку

Сене, что противоречит условию. Значит, Коля на картинке второй слева, его

держит за левую руку Вася, а ещё правее на картинке мы видим Сеню. Отсюда

получается, что Ян крайний слева.

Критерии проверки.

· Верное решение — 7 баллов.

· Верный ответ, но объяснение не полное (например, не объясняется, почему

Коля не может быть вторым справа) — 5 баллов.

· Только верный ответ — 3 балла.

· Если в решении перепутано право и лево, то 0 баллов.

5. У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому покупателю нужно 70 наклеек, а второму и третьему —

по 60 наклеек. Как продавцу отсчитать каждому покупателю нужное число

наклеек за 70 секунд, если за одну секунду он отсчитывает ровно одну наклейку?

Решение.

Чтобы отсчитать от пачки в 100 наклеек 70 штук, достаточно отсчитать 30 штук,

а остальные отдать покупателю.

Запишем действия продавца.

1. От первой пачки отсчитать 30 штук,

2. От второй пачки отсчитать 30 штук и ещё 10 штук.

Запишем, как отдавать наклейки.

1. Остатки первой пачки — первому покупателю.

2. Остатки второй пачки — второму.

3. 30 + 30 штук — третьему.

Всего затрачено времени: 30 + 30 + 10 = 70 (секунд).

Критерии проверки.

· Полное верное решение — 7 баллов.

· Дан алгоритм, как отсчитывать наклейки, но не сказано, как отдавать

покупателям — 5 баллов.

· Есть идея, что достаточно отсчитать 30 наклеек, чтобы отдать продавцу 70,

но верного решения нет — 1−2 балла.

Итоговая аттестация учащихся

Контрольная работа

1. У Пети есть картонная фигура, показанная на рисунке. Как ему разрезать эту фигуру по линиям клеток на четыре равные фигуры (то есть такие фигуры, из которых любые две можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали)?

2. Число 11 можно представить в виде суммы четырёх квадратов чисел только одним способом, не считая порядка слагаемых:

11 = 9 + 1 + 1 + 0 = _{ } +_{ }+_{ }+ _{ } .

Можно ли число 99 представить в виде суммы четырёх квадратов двумя

различными способами?

3. Шестнадцать мальчишек собрались на рыбалку. Известно, что каждый мальчишка, который надел сапоги, надел и кепку. Без сапог оказалось 10 мальчишек, а без кепки -двое. Каких мальчишек и на сколько больше: тех, кто былв кепке, но без сапог, или тех, кто надел сапоги? Обязательно объясните свой ответ.

4. Саша поехал в гости к бабушке. В субботу он сел в поезд, а через 50 часов в понедельник доехал до бабушкиного города. Саша заметил, что в этот понедельник число совпало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона и места? Обязательно объясните свой ответ.

1. Прямоугольник ABCD разделили на четыре меньших прямоугольника с одинаковыми периметрами (см. рисунок).Известно, что AB = 18 см, а BC = 16 см.Найдите длины сторон остальных прямоугольников. Обязательно объясните свой ответ.

Решения и критерии проверки итоговой аттестации учащихся

1. У Пети есть картонная фигура, показанная на рисунке. Как ему разрезать эту фигуру по линиям клеток на четыре равные фигуры (то есть такие фигуры, из которых любые две можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали)?

Ответ: Никаких пояснений не требуется.

Критерии проверки.

• Верный ответ — 7 баллов.

• Разрезание на 4 неравные фигуры равной площади — 1 балл.

2. Число 11 можно представить в виде суммы четырёх квадратов чисел только одним способом, не считая порядка слагаемых:

11 = 9 + 1 + 1 + 0 = 2 2 2 2 3 1 1 0 + + + .

Можно ли число 99 представить в виде суммы четырёх квадратов двумя

различными способами?

Ответ. Да, можно. Таких способов даже больше, чем два:

Критерии проверки.

• Верный ответ (приведено два или более способов), объяснения не требуются — 7 баллов.

• Приведено только одно разложение в виде суммы четырёх квадратов (вне

зависимости от ответа – «да» или «нет») — 3 балла.

• Только ответ «да, можно» — 0 баллов.

3. Шестнадцать мальчишек собрались на рыбалку. Известно, что каждый мальчишка, который надел сапоги, надел и кепку. Без сапог оказалось 10 мальчишек, а без кепки — двое. Каких мальчишек и на сколько больше: тех, кто был в кепке, но без сапог, или тех, кто надел сапоги? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ. Тех, кто был в кепке, но без сапог, на 2 человека больше, чем тех, кто

был в сапогах.

Решение. Из 16 мальчишек 10 человек без сапог, значит, 6 человек в сапогах.

Два человека были без кепок, значит, 14 — в кепках. Так как каждый, кто надел сапоги, надел и кепку, из тех 14 человек, которые надели кепку, 6 человек ещё и в сапогах, а остальные 8 без сапог. Значит, тех, кто в кепке и без сапог (их 8), на 2 больше тех, кто в сапогах (их 6). Это рассуждение можно провести, опираясь на схему:

Критерии проверки.

• Полное обоснованное решение — 7 баллов.

• Проведено верное рассуждение, но в ответе дано отдельно количество тех,

кто в кепке и без сапог, и тех, кто в сапогах (не сделан последний шаг), —

6 баллов.

• Нарисована верная схема или начато верное рассуждение, но решение не

закончено — 2 балла.

• Правильный ответ без объяснений (но с проверкой, что всё сходится) —

2 балла.

• Только правильный ответ — 1 балл.

4. Саша поехал в гости к бабушке. В субботу он сел в поезд, а через 50 часов в понедельник доехал до бабушкиного города. Саша заметил, что в этот понедельник число совпало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона и места? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ. Вагон № 2, место № 1.

Решение. Поскольку номер вагона в субботу был меньше числа, а в понедельник равен ему, очевидно, что суббота и понедельник принадлежат разным месяцам. А так как Саша ехал чуть больше двух суток, понедельник — первое или второе число месяца. Значит, номер вагона — 1 или 2. Но номер вагона не может быть равен 1, поскольку номер места меньше номера вагона. Значит, Саша ехал в вагоне № 2 на месте № 1.

Критерии проверки.

• Правильный ответ и полное объяснение — 7 баллов.

• Правильный ответ, но объяснение частичное — 5–6 баллов.

• Правильный ответ, и показано, как такое могло произойти (даты и смена

месяца), но не показано, что ответ единственный, — 3 балла.

• Правильный ответ, но нет объяснения — 1 балл.

5. Прямоугольник ABCD разделили на четыре меньших прямоугольника с одинаковыми периметрами (см. рисунок).

Известно, что AB = 18 см, а BC = 16 см. Найдите длины сторон остальных прямоугольников. Обязательно объясните свой ответ.

Ответ. 2 см и 18 см — длины сторон прямо-

угольника ABLE, 6 см и 14 см — длины

сторон остальных прямоугольников.

Решение. Так как периметры трёх вертикальных прямоугольников равны и к тому же равны отрезки ED, FG, KH и LC, отрезки ЕF, FK и KL тоже равны. Значит, каждый из отрезков ЕF, FK и KL равен18 см : 3 = 6 см. Периметр прямоугольника ABLE равен периметру прямоугольника DEFG. Дальше можно решать, составив уравнение, или попытаться обойтись без него.

Способ 1. Пусть АЕ= х см, тогда 18+18 + х + х = 6 + 6 +16 – х +16 – х. Откуда

находим х = 2. Значит, АЕ = 2 см, а ED =14 см.

Способ 2. Из условия следует, что DE + EF = AE +AB, то есть DE + 6 = AE +18.

Тогда разность длины отрезков DE и АE равна 12 см, а их сумма по условию

равна 16 см. Отсюда АЕ = 2 см, а DE = 14 см.

Критерии проверки.

• Правильный ответ и полное объяснение – 7 баллов.

• Правильный ответ при неполном объяснении – 5–6 баллов.

• Правильный ход рассуждений, но допущена арифметическая ошибка —

3 балла.

• Что-то надписано на картинке, и получен правильный ответ — 1–2 балла.

Календарно-тематической планирование (первого года обучения)

Итоговое тестирование (за второй год обучения)

9 класс

Вариант №1

1. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

2. По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

3. С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

4. Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?

5. На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Ответы и решения задач варианта №1

1. Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20.  Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

2. Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
   = (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) = 
   = (1!)² · (3!)² · (5!)² ·…· (19!)²  ·  (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
   = (1!)² · (3!)² · (5!)² ·…· (19!)² · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
   = (1! · 3! ·…· 19!)² · 2¹⁰ · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)² (2⁵)² · 10!

Мы видим, что первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.

Ответ: 10

1. Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой ﮮС. 

2. 
   Есть только один треугольник, в котором угол 20° лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20°, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20°). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.

Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.

Итак, мы получили всего 4 треугольника.

1. Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Вариант №2

1. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

2. Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

3. Решите неравенство .

4. Решите уравнение x² + 2005x – 2006 = 0.

5. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Ответы и решения задач варианта №2

1. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ∆АСМ - равносторонний. Но это значит, что ∆АОD и ∆ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ∆АОВ = ∆СОD, откуда имеем, что AB = CD.

2. «Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды. 

3. Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x² – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

4. Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x₁x₂ = -2006 и x₁ = 1, то x₂ = 2006.

5. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Вариант №3

1. В параллелограмме АВС биссектриса угла С пересекает сторону А в точке М и прямую АВ  в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК = 18.

2. Постройте график функции y = |x - 1| - |2 - x| + 2.

3. Вычислите  .

4. Решите уравнение x⁴ + 2006x² – 2007 = 0.

5. Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Ответы и решения задач варианта №3

1. Ответ: 88.1) Из подобия треугольников ∆ AMK и ∆ DMC:
   MK/MC = AK/DC ⇒ 18/24 = 12/CD, т. е. CD = (24 · 12)/18 = (24 · 2) /3 = 16.
   2)ﮮ BCM = ﮮ MCD (CM – биссектриса ﮮ BCD), ﮮ BKM = ﮮ DCM как накрест лежащие при параллельных прямых BK и DC, и секущей KC. Следовательно, ∆ BKC – равнобедренный.
   3)Таким образом, P_ABCD= 2 ∙ (16 + 28) = 88.

2. Ответ:

3. Ответ: 4 016 011. Пусть n = 2004, тогда . Преобразовав, получим

4. Ответ: 1, -1.

5. Ответ: ½ часть задания выполнит ученик.

Вариант №4

1. Докажите, что число  2008² + 2008² ×  2009² + 2009²  является ли квадратом целого числа.

2. Рассматриваются функции вида y = x² + ax + b, где  а + b = 2008. Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

3. На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» - 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

4. В выпуклом пятиугольнике ABCDE  ﮮА = ﮮB =ﮮD = 90°. Найдите ﮮADB, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

5. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой - в синий, а остальные – в белый. Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км. 

Ответы и решения задач варианта №4

1. Рассмотрим выражение n² + n² (n + 1)²  + (n + 1)² = n⁴+ 2n³ + 2n² + (n + 1)² = n⁴+ 2n² (n + 1) + (n + 1)² = (n² + n + 1)². Данное число есть значение этого выражения при n = 2008. Значит, 2008² + 2008²∙2009² + 2009² = (2008² + 2009)² – квадрат целого числа.

2. y(1) = 1 + a + b = 2009. Следовательно, каждый из данных графиков проходит через точку с координатами (1; 2009).

3. Пусть x% жителей острова составляют лжецы. Тогда (100 – х)% составляют рыцари. Так как каждый рыцарь утвердительно ответил ровно на один из вопросов, а каждый лжец – на три, то (100 – х) + 3х = 40 + 30 + 50, откуда х = 10. Так как ни один из жителей острова не сказал, что болеет за ЦСКА, то все лжецы болеют за ЦСКА. Каждый из них заявил, что болеет за «Спартак», поэтому действительно болеют за «Спартак» 40% - 10% = 30% жителей.

4. Пусть О - центр окружности, вписанной в пятиугольник АВСDE. Проведем перпендикуляры ОК, ОL, OM, ON и OT к сторонам AB, BC, CD, DE и EAсоответственно. Поскольку проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT, KBLO и OMDN - равные квадраты. Диагонали  OA, OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому О – центр окружности, описанной около ∆ ADB. Следовательно, ﮮADB = 1/2ﮮAOB = 45°. (Учащиеся могут предложить и другие способы нахождения угла ADB,например, используя свойства отрезков касательных и формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого пятиугольника).

5. Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего столба до всех остальных: 2(1 + 2 + …+ (n– 1)) + n = 2((1 + n -1)/2) n + n = n² (км). Следовательно, n² 2008. Учитывая, что n – натуральное число, получим, что n ≥ 45. Так как расстояние от синего столба до желтого не превосходит n, то n² – n ≤ 2008 n(n – 1) ≤ 2008. Несложно проверить, что n = 45 удовлетворяет этому неравенству, а любое натуральное n, начиная с 46, - не удовлетворяет. Тогда n² = 2025, следовательно, расстояние от синего столба до желтого равно 2025 – 2008 = 17.
   Ответ: 17 км.

45