Реальная математика

VI районная научно-практическая конференция

«Юность. Творчество. Поиск»

Научно-исследовательская работа по теме

«Реальная математика… Насколько это реально?»

Работу выполнила

обучающаяся 9 класса

МБОУ «Тирянская ОШ»

Болугова Юлия.

Руководитель

учитель математики

Кезикова Л.Н.

Кардымово

2016

План.

1. Введение. Стр. 3.

2. Реальная математика. Стр. 4.

2.1. Текстовые задачи. Стр. 4.

2.2. Графики. Стр. 9.

2.3. Статистика. Стр. 10.

2.4. Вероятность. Стр. 13.

2.5. Подсчет по формулам. Стр. 15.

2.6. Прикладные задачи геометрии. Стр. 16.

1. Заключение. Стр. 19.

2. Список литературы. Стр. 20 .

1. Введение.

Я уже в 9 классе… Экзамены… Какого экзамена я боюсь больше всего? Конечно, математики. Потому что первая часть экзаменационной работы на ОГЭ по математике будет состоять из трех частей: алгебра, геометрия и реальная математика. С первыми двумя частями все понятно, но что такое реальная математика? Такой темы в учебниках не было. Я решила посмотреть на сайте Федерального института педагогических измерений (открытый банк заданий), но, там такой темы, то же, нет. А, выбирать задачи из открытого банка заданий долго и неудобно. И как узнать они относятся к реальной математике или нет? В сборнике типовых экзаменационных вариантов за 2015 год в раздел «Реальная математика» входят задачи с 14 по 20. Но, какие типы задач там могут встретиться? Заинтересовавшись данным вопросом, я решила провести собственное исследование.

Цель исследования: выяснить реально ли решить «Реальную математику».

Задачи исследования: выяснить какие типы задач могут входить в данный раздел, научиться решать такие задачи, найти хороший сборник или сайт для подготовки к экзамену.

В сети Интернет нашелся интересный сайт https://ege.yandex.ru/mathematics-gia/ , на котором размещены пробные варианты ГИА по математике с ответами и пояснениями. Эти онлайн-тесты дают представление о том, как выглядели реальные задания в 2014 году. Каждый вариант состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика», которые включают в себя задания первой части экзамена. На данном сайте можно в режиме онлайн-тренировки попробовать силы с 1 по 20 задания. Для каждого номера задания предлагается более 10 задач с последующим просмотром решений. Причем, темы заданий с 14 по 20 выглядят так:

14. Основные единицы измерения величины.

15. Описание зависимостей с помощью функций, интерпретация графиков реальных зависимостей.

16. Практические расчетные задачи.

17. Практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

18. Анализ данных, представленных графически (таблицы, графики, диаграммы).

19. Элементы теории вероятностей.

20. Практические расчеты по формулам.

Но, что будет на экзамене в 2016 году?

2. Реальная математика.

Ответы на свои вопросы я нашла в книге ФИПИ Основной Государственный Экзамен Математика Комплекс материалов для подготовки учащихся ОГЭ 2016/ А.В. Семенов и др. – М.: Интеллект-Центр 2016. В ней четко указано, что раздел «Реальная математика» включает практико-ориентированные задания, направленные на умение применять математические знания в практической жизни, и включает в себя текстовые задачи, графики, статистику, вероятность, подсчет по формулам, прикладные задачи геометрии.

В данную работу я включила, как мне кажется, наиболее интересные задачи.

2.1. Текстовые задачи.

В данном разделе встречаются «простейшие» задачи, задачи с табличными данными, задачи на использование понятия «стандартный вид числа», задачи на части и задачи на проценты.

1) На экскурсию в заповедник записалось 30 человек. Они собираются поехать в машинах. Каждая машина вмещает в себя четырех человек. Сколько потребуется машин, если вместе с участниками поедут три экскурсовода.

Решение:

вместе с экскурсоводами на экскурсию поедут 30 + 3 = 33 человека, 33 / 4 = 8 (ост. 1). Число машин нужно взять с избытком, значит, потребуется 9 машин.

Ответ: 9.

2) Даша в течение 90 дней пьет витамины по 3 капсулы в день. В одной упаковке 42 капсулы. Какое наименьшее количество упаковок должна купить Даша?

Решение:

Даше потребуется 90 * 3 = 270 капсул, 270 / 42 = 6 (ост 18). Значит, Даша должна купить 7 упаковок витаминов.

Ответ: 7.

3) На счету Петиного мобильного телефона было 98 рублей, а после разговора с Витей осталось 23 рубля. Сколько минут они разговаривали, если минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?

Решение:

на разговор с Витей Петя потратил 98 – 23 = 75 рублей. Тогда он разговаривал 75 / 2,5 = 30 минут.

Ответ: 30.

4) Площадь земель крестьянского хозяйства, отведенная под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 36 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 2 : 7. Сколько гектаров занимают зерновые культуры.

Решение:

одна часть составляет 36 / (2 + 7) = 4 га, тогда зерновыми культурами занято 4 * 2 = 8 га.

Ответ: 8.

5) Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 5 : 3. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 51 млн. рублей. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решение:

одна часть прибыли составляет 51000000 / (5 + 3) = 6375000 рублей, на выплату частным акционерам пойдет 6375000 * 3 = 19125000 рублей.

Ответ: 19125000.

6) Студентка Цветкова выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Наро-Фоминск до Киевского вокзала в Москве.

Путь от вокзала до университета занимает 45 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студентке.

1) 6:17 2) 6:28 3) 6:35 4)7:05

Решение: путь от вокзала до университета занимает 45 минут, а занятия начинаются в 9:00, значит, студентка должна быть на Киевском вокзале не позже 8:15.

Ответ: 3.

7) В таблице приведены нормативы по отжиманию для учащихся 9 класса.

Какую оценку получит мальчик, отжавшийся 23 раза?

Ответ: 3.

8) В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешенной

скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России с 1 сентября 2013 года.

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 195 км/ч на участке дороги с максимально разрешенной скоростью 110 км/ч?

1) 500 рублей 2) 1000 рублей 3) 2000 рублей 4)5000 рублей

Решение: скорость превышена на 195 – 110 = 85 км/ч, что соответствует штрафу в размере 5000 рублей.

Ответ: 4.

9) В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трех магазинах:

Зинаида Ивановна хочет купить 3 литра молока, 1,5 килограмма куриных грудок и килограмм макарон. В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Маргарите» у Зинаиды Ивановны скидка 5% на все товары по дисконтной карте, а в «Розе» проходит акция: при покупке двух пакетов молока третий бесплатно?

1) В «Васильке»

2) В «Маргарите»

3) В «Розе»

4) Во всех магазинах стоимость покупки будет одинаковой

Решение:

стоимость покупки в магазине «Василек» составит 39 * 3 + 146 * 1,5 + 32 * 2 = 400 рублей; в магазине «Маргарита» - 43 * 3 + 138 * 1,5 + 36 *2 = 408 рублей, а с учетом 5% скидки получим 387,6 рубля; в магазине «Роза» с учетом акции на молоко получим 45 * 2 + 150 * 1,5 + 40 * 2 = 395 рублей. Меньше всего Зинаида Ивановна потратит в магазине «Маргарита».

Ответ: 2.

10) В таблице приведены расстояния от Солнца до четырех планет Солнечной системы. Какая из этих планет дальше всех от Солнца?

1) Венера 2) Нептун 3) Уран 4) Юпитер

Расстояние от Земли до Солнца равно 147,1 млн км. В каком случае записана эта же величина?

1) 1,471 ∙ 10¹⁰ км 2) 1,471 ∙ 10⁸ км 3) 1,471 ∙ 10⁷ км 4) 1,471 ∙ 10⁶ км

Ответ: 2.

11) Численность населения Китая составляет 1,3 ∙ 10⁹ человек, а Италии - 5,8 ∙ 10⁷ человек. Во сколько раз численность населения Китая больше численности населения Италии?

1) примерно в 4,5 раза

2) примерно в 2,2 раза

3) примерно в 220 раз

4) примерно в 22 раза

Решение: (1,3 ∙ 10⁹) / (5,8 ∙ 10⁷) = 1300 / 58 = 22,41…

Ответ: 4.

Наибольшую трудность среди текстовых задач вызывают задачи на проценты. Большинство обучающихся не умеют их решать. У меня они так же вызывали затруднения, потому что с такими задачами мы сталкивались давно - в 5 - 6 классах и подзабыли теоретический материал. А на самом деле все просто:

1% - это сотая часть числа, чтобы перевести число процентов в десятичную дробь нужно разделить на 100 и в школьном курсе математики изучаются всего три типа задач на проценты:

I тип. Нахождение процентов от числа. Чтобы найти проценты от числа нужно их перевести в десятичную дробь и число умножить на полученную дробь.

II тип. Нахождение числа по процентам. Чтобы найти число по его процентам нужно проценты представить десятичной дробью и число разделить на десятичную дробь.

III тип. Сколько процентов одно число составляет от другого. Чтобы найти сколько процентов составляет число x от числа y нужно x разделить на y и полученную десятичную дробь перевести в проценты.

Вроде бы, не так уж и трудно. Рассмотрим примеры.

12) Телевизор стоит 7500 рублей, но через некоторое время цену на эту модель снизили до 6300 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение:

цена на телевизор снижена на 7500 – 6300 = 1200 рублей, найдем сколько процентов составляет число 1200 от 7500: 1200 / 7500 = 0,16 = 16 %.

Ответ: 16.

13) Подоходный налог составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Павел Витальевич получил 6090 рублей. Сколько рублей составляет его заработная плата?

Решение:

налог на доходы составляет 13 %, тогда 6090 рублей составляют 100 % – 13% = 87 % от начисленной суммы, значит, Павел Витальевич получит 6090 / 0,87 = 7000 рублей.

Ответ: 7000.

14) В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 12%, во второй раз на 25%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1400 рублей?

Решение:

после первого снижения цена чайника уменьшилась на 1400 * 0,12 = 168 рублей, тогда стоимость чайника стала 1400 – 168 = 1232 рубля; после второго снижения цены стоимость уменьшилась на 1232 * 0,25 = 308 рублей, значит, чайник стал стоить 1232 – 308 = 924 рубля.

Ответ: 924.

15) Смешали 25 литров воды и 10 литров 14%-ого раствора соляной кислоты. Сколько процентов составляет концентрация соляной кислоты в получившемся растворе?

Решение:

в 10 литрах раствора содержится 10 * 0,14 = 1,4 литра соляной кислоты, объем получившегося раствора равен 25 + 10 = 35 литров, так как количество соляной кислоты не изменилось, получаем, что процент содержания кислоты в новом растворе 1,4 / 35 = 0,04 = 4%.

Ответ: 4.

2.2. Графики.

С данным разделом, кажется, все понятно. Он самый легкий.

1) Н а графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. По горизонтали указана высота над уровнем моря в километрах, по вертикали – атмосферное давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 280 миллиметров ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Ответ: 7,5.

2) Н а графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат - крутящий момент в Н· м. Чему равен крутящий момент (в Н· м), если двигатель делает 2500 оборотов в минуту?

Ответ: 140.

3) На рисунке показано, как изменялась температура на протяжении суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине суток температура превышала 28⁰С?

Ответ: 3.

2.3. Статистика.

Если внимательно читать задания – разобраться можно.

1) В среднем каждый ученик класса, в котором учится Сережа, тратит на дорогу до школы 36 минут. Сережа тратит на дорогу 10 минут. Какое из следующих утверждений верно?

1) Обязательно найдется ученик, который тратит на дорогу более 40 минут.

2) Обязательно найдется ученик, который тратит на дорогу ровно 36 минут.

3) В классе каждый ученик, кроме Сережи, тратит на дорогу более 36 минут.

4) Обязательно найдется ученик, который тратит на дорогу более 36 минут.

Ответ: 4.

2) Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение масс элементов в молекуле цистеина, если масса водорода составляет 6 % всей массы, азота - 12 %, углерода - 30 %, кислорода - 26 % и серы - 26 % ?

Ответ: 4.

3) На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по диаграмме, в каких продуктах содержание углеводов превышает 50 %.

* К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
1) какао 2) шоколад 3) сухари 4) грибы

В ответе запишите номера выбранных вариантов ответа без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 23.

4) Участников конференции разместили в гостинице в одноместных номерах, расположенных на этажах со второго по пятый. Количество номеров на этажах представлено на круговой диаграмме.

Какие из утверждений относительно расселения участников конференции неверны, если в гостинице разместились 80 участников конференции?
1) Более 20 участников конференции разместились на втором этаже.
2) На втором, четвёртом и пятом этажах разместились больше половины участников конференции.
3) На этажах выше третьего разместились не более четверти всех участников конференции.
4) На втором и третьем этажах разместились не менее 75% всех участников конференции.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.
Ответ: 12.

5) На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории ( в млн км²) стран мира.

К акие из следующих утверждений неверны?
1) По площади территории Австралия занимает шестое место в мире.
2) Площадь территории Бразилии составляет 7,7 млн км²
3) Площадь Индии меньше площади Китая.
4) Площадь Канады меньше площади России на 7,5 млн км².
В ответе запишите номера выбранных утверждений.

Ответ: 24.

2.4. Вероятность.

Для решения задач этого раздела нужно хорошо выучить теоретический материал, что бы знать что и как находить.

1) Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение: игру может начинать любой из пятерых, а мальчиков – 3, тогда, вероятность того, что игру начнет мальчик равна 3 / 5 = 0,6.

Ответ: 0,6.

2) В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке.

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер?

Решение:

найдем относительную частоту попаданий каждого стрелка, разделив число попаданий на число выстрелов:

1 стрелок – 21/30 = 0,7; 2 стрелок – 29/40 = 0,725; 3 стрелок – 36/50 = 0,72; 4 стрелок – 43/60 = 0,716… результат второго стрелка больше чем у остальных.

Ответ: 2.

3) На соревнования по метанию диска приехали 36 спортсменов, среди них 4 спортсмена из Голландии, 6 спортсменов из Испании, 5 – из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что девятым будет выступать метатель из Испании.

Решение:

спортсменов из Испании – 6, а общее количество спортсменов равно 36, тогда вероятность выступления спортсмена из Испании равна 6/36 = 1/6.

Ответ: .

4) Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет 2 или 5.

Решение:

на гранях игрального кубика написаны числа от 1 до 6 – всего 6 вариантов, число благоприятных событий равно 2, вероятность выпадения 2 или 5 равна 2/6 = 1/3.

Ответ: .

5) Учительница по очереди вызывает школьников к доске. Найдите вероятность того, что она сначала вызвала Диму Спицина, а после него к доске пойдет Катя Белкина, если всего в классе 18 учеников.

Решение:

общее число комбинаций из 18 учеников равно 18!, число комбинаций при условии что сначала вызывают Диму, а после него Катю равна 1*1*16!, тогда вероятность события равна 16! / 18! = 1/(17 * 18) = 1/306.

Ответ: .

6) Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что от попадет все 5 раз.

Решение:

вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,8, при втором – 0,8 и так 5 раз, значит, вероятность того, что биатлонист попадет все 5 раз равна

0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,32768.

Ответ: 0,32768.

7) Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта шариковая ручка пишет хорошо.

Решение: 1 – 0,14 = 0,86.

Ответ: 0,86.

2.5. Подсчет по формулам.

Повезет тем , кто умеет хорошо считать.

1) Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой F = 1,8C + 32, где C – градусы Цельсия, F – градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует 62 градусам по шкале Цельсия?

Решение: 1,8 * 62 + 32 = 143,6.

Ответ: 143,6.

2) Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω - угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8 с^-1, центростремительное ускорение равно 128 м/с².

Решение: что бы найти радиус окружности нужно ускорение разделить на квадрат угловой скорости: 128 / 8² = 2.

Ответ: 2.

3) В фирме «Родник» стоимость ( в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 8 колец. Ответ укажите в рублях.

Решение: 6000 + 4100 * 8 = 38800.

Ответ: 38800.

4) Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R , где I – сила тока ( в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой найдите сопротивление (в омах), если мощность составляет 224 Вт, а сила тока равна 4 А.

Решение: R = P / I² = 224 / 4² = 14. Ответ: 14.

2.6. Прикладные задачи геометрии.

Задачи не очень трудные, но если плохо выучил теоретический материал, то решить не удастся.

1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами. Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.

Р ешение:

с геометрической точки зрения рисунок представляет собой прямоугольную трапецию, а средняя опора – среднюю линию данной трапеции. На основании теоремы о средней линии трапеции получим уравнение:

= 2,1, решив данное уравнение, получаем x = 2,5.

Ответ: 2,5.

2) На рисунке изображён колодец с « журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо - 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Решение:

рассмотрим данную ситуацию с точки зрения геометрии, изобразив дополнительный чертеж. Треугольники ОАС и ОВЕ подобны по двум сторонам и углу между ними, найдем коэффициент подобия: АВ / АО = 6 / 2 = 3, тогда ВЕ = 3 * АС = 3 * 0,5 = 1,5.

Ответ: 1,5.

3) Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

Решение:

исходя из теоремы Пифагора получаем, что длина лестницы может быть вычислена по формуле 1,2² + 1,6² = = 2.

Ответ: 2.

4) В 44 метрах одна от другой растут две сосны. Высота одной 41 м, а другой – 8 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Р ешение: изобразим чертеж: АВ и СD – это две сосны, тогда нужно найти длину отрезка ВС, BН = АВ – АН = 41 – 8 = 33, по теореме Пифагора ВС² = ВН² + НС² = 33² + 44² = 3025, отсюда ВС = 55

Ответ: 55.

5) Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,6 м. найдите длину тени человека в метрах.

Р ешение:

треугольники КАВ и КСD подобны по равенству углов.

Пусть КВ = x, получим уравнение:

= запишем его в виде:

7,6 * x = 1,9 * (x + 12) отсюда получим, что x = 4

Ответ: 4.

6) Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?

Ответ: 150.

7) Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 16:00?

Ответ: 120.

8) Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Решение: полный угол равен 360 градусам, 360 / 5 = 72.

Ответ: 72.

9) Сколько досок длиной 2 м, шириной 10 см и толщиной 20 мм выйдет из бруса длиной 80 дм, имеющего в сечении прямоугольник размером 40 см на 60см?

Решение: объем одной доски будет равен 200 * 10 * 2 = 4000 кубических сантиметров, объем бруса – 800 * 40 * 60 = 1920000 кубических сантиметров, 1920000 / 4000 = 480 досок.

Ответ: 480.

3. Заключение.

В результате выполнения данной работы я выяснила, что в раздел «Реальная математика» входят следующие типы задач: текстовые задачи, графики, статистика, вероятность, подсчет по формулам и прикладные задачи геометрии. Многие задания решаются довольно легко и не требуют особых математических способностей, к тому же, мы встречаемся с ними в повседневной жизни, например, при совершении покупок в магазине или использовании сотового телефона. Вычисляя цену товара при распродаже или сумму подорожания чего-либо, мы просто не задумываемся, что решаем задачи «Реальной математики». Поэтому, многое из данного раздела нам пригодится в дальнейшей жизни.

Еще, кроме, имеющихся сборников для подготовки к ОГЭ я узнала о наличии хороших сайтов: https://ege.yandex.ru/mathematics-gia/ и http://gorkunova.ucoz.ru/index/ogeh_2016_po_matematike/0-52, на которых можно бесплатно потренироваться в решении заданий ОГЭ по математике.

Решить задания «Реальной математики» вполне реально! Нужно только приложить немного усилий и хорошо выучить теоретический материал.

Список литературы.

1. ФГОС Математика 5 класс Учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин и др. – М.: Мнемозина 2013.

2. ФГОС Математика 6 класс Учебник для общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин и др. – М.: Мнемозина 2013.

3. ФИПИ Основной Государственный Экзамен Математика Комплекс материалов для подготовки учащихся ОГЭ 2016/ А.В. Семенов и др. – М.: Интеллект-Центр 2016.

4. ФИПИ ОГЭ Математика Типовые экзаменационные варианты под редакцией И.В. Ященко 10 вариантов/ А.В. Семенов и др. – М.: Национальное образование 2015.

5. ФИПИ ОГЭ Математика Типовые экзаменационные варианты под редакцией И.В. Ященко 10 вариантов/ А.В. Семенов и др. – М.: Национальное образование 2016.

Интернет – источники.

1. http://www.fipi.ru/

2. https://ege.yandex.ru/mathematics-gia/

3. http://gorkunova.ucoz.ru/index/ogeh_2016_po_matematike/0-52

16