"Решение линейных, квадратных и неполных квадратных уравнений"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Бурлинская средняя общеобразовательная школа»

Практический материал к ОГЭ

по математике

«Решение линейных, квадратных и неполных квадратных уравнений»

Составила: Околович В.А.,

учитель математики

с. Бурла

2022г

Тема методической разработки: «Решение линейных, квадратных и неполных квадратных уравнений» составлена для проведения занятий по обобщающему повторению в классах с различным уровнем усвоения учебного материала и различной мотивацией обучения.

Цель разработки: умение анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов решения уравнений; преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике.

Задачи: систематизировать основные методы решения уравнений, научиться применять их при решении уравнений, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах; совершенствовать навыки самоконтроля.

Предлагается образец решения уравнений и уравнения для самостоятельного выполнения с опорой на образец решения.

Линейное уравнение – уравнение вида ax+b=0, где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a≠0.

Уравнение нужно привести к виду ах=b и его решить. Достаточно поделить левую часть и правую часть уравнения на а. В результате получим х=а/b.

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида ax+b=0, но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Алгоритм решение линейных уравнений

1. Раскрыть скобки (если они есть)

2. Неизвестны слагаемые перенести в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида ax=b. 

3. Решить данное линейное уравнение: x=b/a.

4. Записать ответ.

Примеры решения линейных уравнений:

2x+1=2(x−3)+8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду ax=b:

Для начала раскроем скобки:

2x+1=4x−6+8

В левую часть переносятся все слагаемые с x, в правую – числа:

2x−4x=2−1

−2x=1

Теперь поделим левую и правую часть на число (-2):

−2x:(−2)=1:(−2), х=- 0,5

Ответ: x=−0,5

Квадратное уравнение – уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Определить коэффициенты уравнения: а ,b, с

2. Вычислить дискриминант по формуле:

D=b²−4ac

1. Если D0, будет два различных корня, которые находятся по формуле:

X_1,2=(−b±√D):2a

1. Если D=0, будет один корень, который находится по формуле:

x=−b/2a

1. Если D

2. Записать ответ.

Примеры решения квадратного уравнения:

1) –x²+6x+7=0

a=−1, b=6, c=7

D=b²−4ac= 62−4⋅(−1)⋅7= 36+28=64

D0 – будет два различных корня:

X_1,2=(−b±√D ):2a

х_1,2=( −6±√64):2⋅(−1)= (−6±8):(−2), х₁=(-6+8):(-2)=-1_, х₂ =(-6-8):(-2)=7

Ответ: x₁=−1,x₂=7

 2) −x²+4x−4=0

a=−1,b=4,c=−4

D=b2−4ac= 42−4⋅(−1)⋅(−4)= 16−16=0

D=0 – будет один корень:

x=−b/2a=−4:(2⋅(−1))= −4:(−2)=2

Ответ: x=2

Неполные квадратные уравнения :

1) Если с=0, а#0 , b#0, тогда ах² +bx=0, x(ax+b)=0, x₁₌0 или х₂=-b/a

2) Еcли b=0, а#0 , с#0,тогда ах² +с=0, -с/а0 x_1,2= +-√(-с/а), -с

3) Если b=c=0,а#0,тогда ах²=0, х₁=х₂=0

Алгоритм решение неполных квадратных уравнений:

1. По условию определить тип неполного квадратного уравнения.

2. Решить неполное квадратное уравнение по правилу, соответствующему его типу.

3. Записать ответ.

Примеры решения неполных квадратных уравнений:

1. 5х²-4х=0, имеет вид ах²+bx=0

x(5x-4)=0, х=0 или 5х-4=0, х=5/4=0,8

Ответ: 0;0,8

1. 9х²-36=0, имеет вид ах²+с=0, 9а²=36, а²=4, а₁=2, а₂=-2

Ответ: -2; 2

1. -128х=0, х=0

Ответ:0

Выполни самостоятельно.

1.Линейные уравнения:

1) (х+10)²=(5-х)² 2) (х+2)²=(1-х)²

3) 4(х+10)=-1 4) 10(х+2)=-7

5) 4х-7=2х 6) 6х-3=8х

7) (х -5)²-х²=0 8) (2х-6)²-4 х²=0

9) 2+3х=-7х-5 10) 1-10х=5х+10

11) -2х-4=3х 12) 6х+1=-4х

2. Квадратные уравнения:

1) х²+8х+15=0 2) х²+10х+24=0

3) х²-20=х 4) х²-35=2х

5) 2х² +5х-7=0 6) 5 х²+4х-1=0

7) х²-5х=14 8) х²+4х=21

9) 5 х²+9х+4=0 10) 6 х²-9х+3=0

11)8 х²-12х+4=0 12) 8 х²-10х+2

3.Неполные квадратные уравнения:

1) 1/4х²-36=0 2) 1/3х²-27=0

3) 5 х²+20х=0 4) 7 х²-14х=0

5) 5 х²+15х=0 6) 4 х²-20х=0

7) 3х²-12=0 8) 3х²-27=0

9) 6 х²=36х 10) 7 х²=42х

11) 7 х²- 49=0 12) 8 х² -64=0

Литература:

1. Алгебра 7-9 классы Т.М. Виноградова. Москва: Эксмо,2019

2. ОГЭ математика И.В. Ященко, 2021г,2022г.