Решение неравенств методом рационализации

МБОУ СОШ №2

Доклад на тему:

Решение неравенств

методом рационализации

Учитель математики

МБОУ СОШ№2

Г Буйнакска

Глебова Р.В

2018-2019 уч.год

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные логарифмические, показательные и др выражения к равносильному ему , но более простому рациональному неравенству

Основные положения теории метода рационализации. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на  более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) 0  равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).

Неравенство вида

в области его допустимых значений можно заменить равносильным неравенством

Здесь знак  означает любой из знаков , ,  или .

Рассмотрим ещё один пример из реальных прототипов заданий ЕГЭ по математике.

Решите неравенство:

Область допустимых значений данного неравенства определяется следующей системой неравенств:

Итак, область допустимых значений задаётся следующим промежутком:

.

Представим единицу справа в виде логарифма с основанием  и перенесём его в левую сторону неравенства:

Воспользуемся методом рационализации. В области допустимых значений данное неравенство можно заменить следующим:

Умножим обе части на -4, поменяв при этом знак неравенства:

Разложим на множители выражение, стоящее в обеих скобках:

Если умножить обе части на 2 и внести этот множитель во вторую скобку, то получится следующее уравнение:

Изобразим на числовой прямой промежутки, на которые разбивают числовую ось корни полученного многочлена слева, определим знаки многочлена в каждом промежутке и выделим решение неравенства с учётом области допустимых значений:

Итак, окончательный ответ:

.

Рассмотрим неравенство, содержащее модуль.

Знак выражения  совпадает со знаком выражения  при любых значениях . Это и используется при решении неравенств с модулями методом рационализации.

Неравенство типа

равносильно неравенству

Здесь знак  означает любой из знаков , ,  или .

Ну действительно, известно, что  и . Тогда обе части неравенства можно возвести в квадрат, перенести всё в одну сторону и воспользоваться формулой «разность квадратов»:

В этом и состоит суть метода рационализации неравенств, содержащих модули.

Рассмотрим конкретный пример.

Воспользуемся методом рационализации для решения данного неравенства. Заменим его равносильным и более простым неравенством:

Приведём подобные слагаемые в обеих скобках:

Из первой скобки вынесем множитель -10, а из второй — множитель  и разделим обе части неравенства на -20, поменяв при этом его знак:

Видно, что выражение слева может быть меньше нуля только при (так как второй множитель всегда неотрицателен, ибо является полным квадратом), а равно нулю при  или . Итак, окончательный ответ к данному неравенству:

.

Вот такое простое и изящное решение. При этом можете себе представить, что было бы, если бы мы решили воспользоваться стандартным методом решения неравенств с модулями и стали бы раскрывать модули при различных значениях .

Предлагаю рассмотреть таблицу замены одного выражения другим равносильным рациональным выражением