Решение простейших тригонометрических уравнений

Практическое занятие

Решение простейших тригонометрических уравнений.

1) Теоретический этап

Простейшие тригонометрические уравнения:

1. sin x = а

x = (–1)ⁿ arcsin а + πn, nєZ

Частные случаи:

2. sin x = 0

х = πn, nєZ

3. sin x = –1

x = – + 2πn, nєZ;

4. sin x = 1

x = + 2πn, nєZ

5. tg x = а

x = arctg а + πn, nєZ

6. cos x = а

х = ± arccos а +2πn, nєZ

Частные случаи:

7. cos x = 0

х = – + πn, nєZ;

8. cos x = –1

х = π +2πn, nєZ;

9. cos x = 1

х = 2πn, nєZ;

10. ctg x = а

x = arcсtg а + πn, nєZ .

Свойства обратных тригонометрических функций:

2) Подготовительный этап

Перепишите и заполните пропуски

Пример 1. Решить уравнение tg x+ = 0

Решение: tg x+ = 0, tg x = – , x = arctg (– ) + πn, nєZ

x = – arctg + πn, nєZ , x = – +2πn, nєZ;

Ответ: – + 2πn, nєZ

Пример 2. Решить уравнение 2cos x = –

Решение: 2cos x = –

cos x = – , x= ± arccos (– ) + 2πn, nєZ, x = ± + 2πn, nєZ

Ответ: ± + 2πn, nєZ.

Пример 3. Решить уравнение cos = .

Решение: cos =

= ± arccos +2πn, nєZ , = ± +2πn, nєZ (умножим на 5),

х = ± + …πn, nєZ

Ответ: ± + 10πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение (2 sin x – 1) (tg x ) = 0

Решение: (2 sin x – 1) (tg x ) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0

sin x = tg x =

х₁= (–1) ⁿ + π n, n Z х₂ = + π k, k

Ответ: х₁= (–1) ⁿ + π n, n Z , х₂ = + π k, k .

Пример 5. Решить уравнение 2cos(х + ) = .

Решение: 2cos(х + ) = , cos(х + ) = – , х + = ± + 2πn, n∈Z, x = – ± + 2πn, n∈Z. x₁ = – + + 2πn, n∈Z, x₁ = + 2πn, n∈Z,

x₂ = – – +2πn, n∈Z, x₂ = – + 2πn, n∈Z.

Ответ: x₁ = + 2πn, n∈Z, x₂ = – + 2πn, n∈Z.

Пример 6. Решить уравнение sin(2х + ) = 0.

Решение: sin(2х + ) = 0, 2х + = πn, n∈Z, 2х = – + πn, n∈Z,

х = – , n∈Z.

Ответ: х = = – , n∈Z

3) Практический этап

4. Решите уравнение (2 sin x ) (tg x – ) = 0

5. Решите уравнение 2cos(х + ) = –

6. Решите уравнение sin(2х + ) = 0