Решение треугольников. Презентация

Муниципальное общеобразовательное учреждение « Лицей №5 имени Ю.А. Гагарина Центрального района Волгограда» «Решение треугольников»

Автор:

Таболаева

Марина Васильевна –

учитель математики

МОУ лицея №5

им.Ю.А.Гагарина

Волгограда

• Решить треугольник – это найти все неизвестные элементы треугольника по некоторым известным его элементам.
• Треугольник является одной из основных геометрических фигур. Многие фигуры и вообще произвольные многоугольники можно разбить на треугольники.
• В любом треугольнике есть 6 основных элементов: три стороны и три угла.

Цель: Задачи:

• 1.Вспомнить теорему синусов.
• 2.Вспомнить теорему косинусов.
• 3.Представить теорему о медиане и её доказательство.
• 4.Представить теорему о биссектрисе треугольника и ее доказательство.
• 5.Разобрать формулы площади треугольника.
• 6. Узнать о задаче Эйлера.

• Разобрать доказательства некоторых теорем и варианты решения треугольников.

Теорема синусов:

Где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ соответственно противолежащие им углы, а R-радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

«Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.»

Теорема о медиане

« Квадрат медианы AM треугольника АBС выражается формулой »

Доказательство

• Зная стороны треугольника ABC, можно найти, например, косинус угла В. Для этого нужно воспользоваться теоремой косинусов : АС 2 =АВ 2 + ВС 2 - 2АВ • ВС cos В, откуда

• Рассмотрим теперь треугольник АВМ. Учитывая, что ВM=BC/2 по теореме косинусов находим:

• Теорема доказана.

Теорема о биссектрисе треугольника

«Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.»

Доказательство:

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Докажем, что DB/AB=DC/AC. Рассмотрим сначала треугольник ABD. По теореме синусов

откуда

• Аналогично, рассматривая треугольник ADС получаем:

• Ho 2= 1 по условию, 4=180 - 3 , поэтому sin 2=sin 1 и sin 3= sin 4 ( Следовательно, DB/AB = DC/AC . Теорема доказана.

Формулы площади треугольника

1 теорема

«Площадь S треугольника выражается формулой S=pr, где р — полупериметр треугольника,

r — радиус вписанной в него окружности.»

2 теорема. «В треугольнике ABC со сторонами АВ = с, ВС = а и СА =b имеют место равенства где R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.»

В треугольнике ABC хотя бы один из углов — острый. Пусть, например, острым является угол А. Проведем диаметр BD и рассмотрим треугольник DBC. Угол С этого треугольника — прямой, угол D равен углу A, поскольку указанные вписанные углы опираются на одну и ту же дугу ВС. Следовательно, а = ВС = BDsinА = 2RsinА, откуда

а/sinA= 2R. Пользуясь теоремой синусов, получаем:

Теорема доказана.

Задача Эйлера

С помощью задачи Эйлера можно доказать, что в произвольном треугольнике:

1)точки, симметричные точке Н пересечения высот (или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности;

2)середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку Н с вершинами, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего точку Н с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности (эта окружность называется окружностью Эйлера);

3)    точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку Н с центром описанной окружности, и делит этот отрезок в отношении 1:2, считая от центра описанной окружности (прямая, на которой лежат четыре точки — точка Н, точка пересечения медиан, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера, называется прямой Эйлера);

4)точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера.

Решение задачи на тему: «Решение треугольников"

1. На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4.Найдите площадь треугольника BCE, если BC=6, AC=4

• По теореме Пифагора AD=5 Тогда ED=1
• Пусть точка E лежит на луче AD. Медиана AD длиннее AE, и точка E лежит внутри треугольника ABC.
• Опустим из точки E перпендикуляр EF на прямую BC и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники DEF и DAC. Из подобия треугольников находим:
•  
• Следовательно,

Пусть теперь точка A лежит между E и D. В этом случае ED=9 и Тогда

• Ответ: 2,4 ; 21,6

Заключение

Проведена систематизация существующих теорем необходимых для решения треугольников. Некоторые из них изучаются в курсе школьной геометрии, но большинство теорем и задач, представленных в презентации, являются новыми и полезны для решения задач по планиметрии.

Спасибо за внимание!