| Цели и задачи урока. Образовательные: 1. сформировать у учащихся умений решать однородные тригонотетрические уравнения; 2. отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений.
Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации; 2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения. Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности. Оборудование урока: 1. Компьютер, проектор, экран, тетради; 2. чистые листы для самостоятельной работы; 3. таблицы по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций; б) решение тригонометрических уравнений (частные случаи); в) основные формулы тригонометрии. Литература: 1. Мордкович. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс; 2. Крамор В.С. Повторяем курс алгебры.
Содержание урока. I. Организационный момент. Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами. Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделала неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по -другому? А что будет, если… А быть может, вот так… А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах? 1. Устный опрос Решите уравнение sinx=-1 cos x=1/2 tg x=-1 sin 2x=-1/2 cos x=- /2 tg 2x=4 sin x=-2 2. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала 3. Перед вами уравнения: В течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам(алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести букву под которой стоит уравнение): | Простейшее тригон-ское | Замена переменной | Разложение на множители | ??? | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1) 2sinxcos 5x – cos 5x =0; 2) sin (π+x)=0 3)3tg 2 x + 2tg x -1=0 4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0; 5) sin 2х = -1 6)2sinx – 3cosx = 0 7) cos 3x = 0; 8) cos (х – π/4) = ½; 9) sin (x/2+ π /3)= -1/2. 10) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0 11)√3tg2x + 1 = 0 12) 3cos2x – sinx – 1 =0 13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0 Вспомним решения 1),12),11)
а) √3tg2x + 1 = 0 √3tg2x = – 1 tg2x = – 1/√3 2x = arctg (– 1/√3) + πn, n € Z 2x = – π/6 + πn, n € Z x = – π/12 + πn/2, n € Z б)
в) 3cos2x – sinx – 1 =0 3 (1 – sin2x) – sinx –1 = 0 3 – 3 sin2x – sinx –1 = 0 – 3 sin2x – sinx + 2 = 0 3 sin2x + sinx – 2 = 0 Пусть sinx = y 3y2 + y – 2 = 0 D = b2 – 4ac = 1 – 4∙3∙(–2) = 25 y1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1 sinx = 2/3 или sinx = – 1 x = (– 1)n arcsin(2/3) + πn, n € Z x = – π/2+ 2πk, k € Z Ответ: (– 1)n arcsin(2/3) + πn; x = – π/2+ 2πk, n, k € Z III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала. Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений 2sinx – 3cosx = 0 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0 IV. Усвоение новых знаний Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, разобрать способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений. Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске: «Это однородные тригонометрические уравнения», и предлагает учащимся записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений». Учитель вывешивает плакат, на котором написано определение однородных тригонометрических уравнений вида: asinx + bcosx = 0, a,b ≠ 0 и asin2x + bsinxcosx + kcos2x = 0, a,b,k ≠ 0 Учитель: Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставимcosx = 0 , то получим, что sinx = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю). Итак, рассмотрим решение уравнения: а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx ≠ 0 | 2sinx | – | 3cosx | = | 0 | | cosx | cosx | cosx | 2tgx – 3 = 0 2tgx = 3 tgx = 1,5 Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z б) 3sin2x – 4sinxcosx + cos2x = 0 Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе. Вопрос учителя: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень? Ответ: Да, каждый. Вопрос учителя: Какой мы можем сделать вывод? Ответ: Это уравнение однородное. Вопрос учителя: Как мы решаем такое уравнение? Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, т.к. sinx и cosxодновременно нулю равняться не могут. | 3sin2x | – | 4sinxcosx | + | cos2x | = 0 | | cos2x | cos2x | cos2x | 3tg2x – 4tgx + 1 = 0 Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях. Решение: пусть tgx = y 3y2 – 4y + 1 = 0 D = 16 – 4·3·1 = 4 y1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3 tgx = 1 или tgx = 1/3 x = π/4 + πn, n € Z x = arctg(1/3) + πk, k € Z V. Проверка понимания учащимися нового материала. Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида. На доске записаны уравнения. Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения. 1. sinx = 2cosx – однородное 2. √3sin3x – cos3x = 0 – однородное 3. sin2x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное 4. 2cos2x + 3sin2x + 2cosx = 0 – квадратное 5. 6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0 – однородное Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить. VI. Закрепление нового материала. Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке. Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения под цифрами 2 и 5. по вызову учителя двое учащихся выходят к доске. 2) √3sin3x – cos3x = 0, cosx ≠ 0 √3tg3x – 1 = 0 √3tg3x = 1 tg3x = 1/√3 3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z 3x = π/6 + πn, n € Z x = π/18 + πn/3, n € Z 5) 6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0 cos2x ≠ 0 6tg2x – 1 – 5tgx = 0 Пусть tg x = y 6y2 – 1 – y = 0 D = 25 – 4·6· (–1) = 49 y1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6 tgx = 1 или tgx = –1/6 x = π/4 + πn, n € Z x = arctg(–1/6) + πk, k € Z Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z Решить по учебнику №18.11(а),в №18.12 в VII. Проверка усвоения нового материала. Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю Самостоятельная работа | Вариант 1 | Вариант 2 | | √3cos2x + sin2x = 0 cos2x ≠ 0 √3 + tg2x = 0 tg2x = – √3 2x = – π/3 + πn, n € Z x = – π/6 + πn/2, n € Z | √3 sin5x + cos5x = 0 cos5x ≠ 0 √3tg5x + 1 = 0 tg5x = – 1/√3 5x = arctg(– 1/√3) + πn, n € Z 5x =– π/6 + πn, n € Z x =– π/30 + πn/5, n € Z | По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их, записать на листках фамилию проверяющего. Домашнее задание №18.11 б,г,18.12 (а) К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода. «Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности. И да поможет вам Математика! IX. Итог урока: Вопрос учителя: С каким видом уравнений познакомились? Ответ: С однородными. Вопрос учителя: Как решаются эти уравнения? Ответ: Делением на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0 Вопрос учителя: Что имеем после деления? Ответ: Уравнение первой или второй степени, которые мы умеем решать | 
1 995
25 048 
