Решение тригонометрических уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

№

Уравнения

1

№ метода

2

Sin x/3 - cos 6x = 2

Методы

4(б)

3

1.Разложение на множители.

2.Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.

3. Сведение к однородному уравнению.

4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции.

4

5 sinx – 2 cosx = 1

5

6

sin3x cos2x = 1

3, 2(б,в)

7

4(б)

cos2x = (cos x – sin x )

1 – sin2x = cos x – sin x

8

1,2(б,в),3

1,2(б,в)3

cos3x = sin x

9

4(а)

4 – cos 2 x = 4 sin x

10

2(а)

sin3x – sin5x = 0

11

4(б)

12

tg 3x tg(5x +  /3) = 1

2 tg x/2 - cos x = 2

4(а)

1,2(а,б,в),3,4(а)

1. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Определите и ответьте, какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения?

а ) sin 2x – cos x = 0

б ) 2sin²x - 5sinx = -3

в ) cos²x – sin²x = sinx – cosx

г ) sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0

3. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

Некоторые типы тригонометрических уравнений .

• Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно

cos х = t , sin х = t .

A sin 2 x + B cosx + C = 0

A cos 2 x + В sinx + C = 0

• A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0
• A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.

2.Однородные уравнения первой и второй степени.

I степени . A sinx + B cosx = 0 : cosx

A tg x + B = 0

II степени . A sin 2 x + B sinx cosx + A cos 2 x = 0 : cos 2 x

A tg 2 x + B tgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной .

3. Уравнение вида:

А sinx + B cosx = C . А, В, С  0

Применимы все методы.

4. Понижение степени.

А cos 2 x + В = C .

A cos2x + B = C.

Решаются методом разложения на множители.

A sin2x + B = C.

A sin2x + B = C.

Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).

Формулы .

Универсальная подстановка.

х   + 2  n ; Проверка обязательна!

Понижение степени.

= (1 + cos2x ) : 2

= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

a cosx + b sinx заменим на C sin ( x +  ), где

cos  =

sin  =

 - вспомогательный аргумент.

6

Сведение к однородному.

A sin2x + B sin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

Уравнения вида

Пример. 5 sin 2 x +

sinx cosx + 6 cos 2 x = 5.

Разложение на множители.

Пример. - 2 cosx = 4 sinx - sin 2 x

7

Проблемы ,возникающие при решении

тригонометрических уравнений

1.Потеря корней:

• делим на g (х).
• опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

• возводим в четную степень.
• умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

7

Уравнение .

Уравнение .

Поделив уравнение на , получим , ,

При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на .

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и

не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны

равенством . Следовательно, при делении

уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

7

Решить уравнение cos²x + sinx cosx = 0

1) Делить на cosx нельзя, так как в условии не указано , что cosx не равен нулю. Но можно утверждать, что sinx не равен нулю, так как в противном случае cosx равен 0, что невозможно , так как sin²x-cos²x =1. Значит можно разделить на sin²x .

2) Решим уравнение разложением на множители:

cos²x + sinx cosx = 0 ,

с osx ( cosx + sinx ) = 0 ,

с osx = 0 или cosx + sinx = 0,

tg x=-1,

, x = y +

.

7

Уравнения, линейные относительно sin x и cos x

а sin x + в cos x = с.

Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл;

Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим случаи, когда а , в , с не равны 0.

Примеры:

3 sin 5x - 4 cos 5x = 2

2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.

Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg х ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.

Решение этих уравнений существует при

Данное уравнение является уравнением

вида , (1)

где , , , которое можно решить другим способом.

Разделим обе части этого уравнения на :

. (2)

Введем вспомогательный аргумент , такой, что

.

Такое число существует, так как

.

Таким образом, уравнение можно записать в виде

.

Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

Уравнение .

Используя формулы sin x = 2 sin cos , cos x = cos 2 - sin 2 и

записывая правую часть уравнения в виде ,

получаем

Поделив это уравнение на ,

получим равносильное уравнение

Обозначая , получаем , откуда .

1)

2)

Ответ:

x

x

x

x

2

2







3

sin

sin

4

cos

cos

0

.

2

2

2

2

13

• 4 sin ²x – 4sinx – 3 = 0
• 2cos²x – sinx – 1 = 0

13

• 4 sin ²x - 4 sinx – 3 = 0
• ( -1) n+1 П /6 + П n, n Z.
• 2 с os²x – sin x – 1 = 0
• ± П /6 + П n ; -П /2+2 П n, n Z.

13

13

Решить уравнение

Здесь

Поделим обе части уравнения на 5:

Введем вспомогательный аргумент , такой, что , . Исходное уравнение можно записать в виде

,

,

откуда

Ответ:

13

=45 °

=30 °

= 60 °

sin x

cos x

tg x

1

ctg x

1

А

=180 °

= 90 °

0 °

=270 °

=360 °

sin x

0

0

-1

0

1

cos x

1

0

-1

0

1

0

-

0

-

0

tg x

ctg x

-

0

-

0

-

19