Решение тригонометрических уравнений

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим.

а) Уравнения, решаемые с помощью тождеств

Полезно знать следующие формулы:

11()

Пример.1 Решить уравнение: .

Решение. Используя 1, получаем

Ответ.

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

следовательно,

.

Аналогично, .

Пример.2 Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

.

Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .

б) Универсальная тригонометрическая подстановка.

22()

Следует отметить, что применение формул 2 может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы

, корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. По условию задачи . Применив формулы 2 и сделав замену , получим:

откуда и, следовательно, .

Пример 2. (1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.

; ; .

Проверка. Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ: .

в) Уравнения, сводящиеся к однородным.

Пример решения уравнения:

т.к. не является корнем уравнения, то разделим на

Ответ: .

Приложение 9

Уравнения, решаемые с помощью формул.

Примеры решения уравнений :

a. . ОДЗ переменной x: .

Ответ: .

b. . ОДЗ переменной x: .

является ответом т.к. в него входят остальные корни

Ответ: .

Приложение 10

Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования произведений в сумму.

Примеры решения уравнений :

a. . ОДЗ переменной x: .

Ответ: .

b.

Ответ: .

Приложение 7

Уравнения, решаемые с помощью понижения степени.

Пример решения уравнений:

1.

ОДЗ переменной x: .

Ответ: .

2.

;

Пусть , тогда .

; .

или

Т.к.

при , то корней нет.

Ответ:

Приложение 6

Введение вспомогательного аргумента.

Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием:

1) если , то уравнение однородное.

2) если и (то есть хотя бы одно из чисел a или b не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим:

Т.к. и , то существует такой угол , что , тогда

а) если , т.е , то корней нет.

в) если , т.е. , тогда

Т.к. , то корней нет.

Пример 1. Решите уравнение: .

Т. к. , то корни есть. Разделим обе части уравнения на ,получим: .

Т. к. и , то существует такой угол , что , а , тогда получим:

Ответ:

Пример 2. .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

.

Ответ: