Решение тригонометрических уравнений (задание 13)

МАОУ гимназия 83

ЗАДАНИЕ №13

ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ЕГЭ

1. Решите уравнение cos 𝑥 · (︁ 2 cos² − 1)︁ = cos (𝑥 + 𝜋).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋 /2; 2𝜋].

Решение:

а) cos 𝑥 · (︁ 2 cos² − 1)︁ = - cos 𝑥

cos 𝑥 · cosх = - cos 𝑥

cos 𝑥 · cosх + cos 𝑥 = 0

cos 𝑥 ·( cosх + 1) = 0

[ [ [

б) С помощью числовой окружности, выполним отбор корней принадлежащих отрезку [𝜋 /2; 2𝜋]

𝜋 /2 [𝜋 /2; 2𝜋]

𝜋 [𝜋 /2; 2𝜋]

3𝜋 /2 [𝜋 /2; 2𝜋]

Ответ: а) ,

б)

2. Решите уравнение 4 cos³ 𝑥 − 2 √ 3 cos 2𝑥 + 3 cos 𝑥 = 2√ 3.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2𝜋; 7𝜋/2].

Решение:

а) 4 cos³ 𝑥 − 2 √ 3 (cos ²𝑥 – 1) + 3 cos 𝑥 = 2√ 3

4 cos³ 𝑥 − 2 √ 3 cos ²𝑥 + 2√ 3 + 3 cos 𝑥 - 2√ 3 = 0

4 cos³ 𝑥 − 2 √ 3 cos ²𝑥 +3 cos 𝑥 = 0

(4 cos² 𝑥 − 2 √ 3 cos 𝑥 +3) cos 𝑥 = 0

D = 0, х = х = + 2

б) С помощью числовой окружности, выполним отбор корней принадлежащих отрезку [2𝜋; 7𝜋/2]

Ответ: а) х = + 2 ,

б)

3. Решите уравнение 4 sin³ 𝑥 + 3sin𝑥 + 4√ 3 = 4 3 cos² 𝑥

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4𝜋; -5𝜋/2].

Решение:

а) 4 sin³ 𝑥 + 3sin𝑥 + 4√ 3 - 4 3 cos² 𝑥 = 0

4 sin³ 𝑥 + 3sin𝑥 + 4√ 3 - 4 3 + 4 3 sin² 𝑥 = 0

4 sin³ 𝑥 + 3sin𝑥 + 4 3 sin² 𝑥 = 0

(4 sin² 𝑥 + 3 + 4 3 sin 𝑥) sin 𝑥 = 0

Х =

D = 0, х = - + 2 к, к , х = 4 + 2 m, m

б) С помощью числовой окружности, выполним отбор корней принадлежащих отрезку [-4𝜋; -5𝜋/2]

Ответ: а) Х = 2 , б)

4. Решите уравнение 2 sin³ 𝑥 - 2cos2𝑥 + sin х = - 2

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3𝜋/2;3 ].

Решение:

а) 2sin³ 𝑥 + sinх - 2 + + = 0

2sin³ 𝑥 + sinх + = 0

(2sin² 𝑥 + = 0

= 0

Х =

2sin² 𝑥 +

D = 0, = - х = - + 2 х = - + 2

б) С помощью числовой окружности, выполним отбор корней принадлежащих отрезку [3𝜋/2;3 ]

Ответ: а) Х = ,

б)